Analyse de l'énoncé

Cet exercice de Première Enseignement Spécifique porte sur la modélisation d'un phénomène biologique par une fonction de forme \(f(t) = a \times b^t\). Ce type de modèle est caractéristique d'une croissance à taux constant, ici une augmentation de 15 % par unité de temps (puisque la base est 1,15). L'objectif est de vérifier la compréhension des images de fonctions, l'étude des variations et la capacité à interpréter un résultat numérique dans un contexte concret.

Points de vigilance et notions de cours

• Unités : Attention, \(f(t)\) est exprimé en milliers de bactéries. Un résultat de 10 signifie 10 000 bactéries.
• Sens de variation : Pour une fonction de type \(t \mapsto q^t\), le sens de variation dépend de la valeur de \(q\). Si \(q > 1\), la fonction est strictement croissante.
• Interprétation : Toujours traduire le temps \(t\) en format lisible (ex: 1,5 heure = 1 heure et 30 minutes).

Correction détaillée

1. Calcul des populations initiales

a) Au début de l'expérience (\(t = 0\)), on calcule \(f(0)\) :
\(f(0) = 10 \times 1,15^0 = 10 \times 1 = 10\).
Le nombre de bactéries au début est de 10 milliers, soit 10 000 bactéries.

b) Au bout d'une heure (\(t = 1\)) :
\(f(1) = 10 \times 1,15^1 = 11,5\).
Le nombre de bactéries est de 11,5 milliers, soit 11 500 bactéries.

2. Sens de variation

La fonction \(f\) est de la forme \(f(t) = C \times q^t\) avec \(C = 10\) et \(q = 1,15\).
Comme \(q = 1,15\) et que \(1,15 > 1\), la fonction \(t \mapsto 1,15^t\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), et donc sur \([0 ; +\infty[\).
Puisque le coefficient multiplicateur \(C = 10\) est positif, la fonction \(f\) conserve ce sens de variation. La population de bactéries augmente donc continuellement au cours du temps.

3. Interprétation du résultat \(f(1,5) \approx 12,332\)

Le nombre \(1,5\) représente le temps écoulé en heures, soit 1 heure et 30 minutes. La valeur \(12,332\) représente la population en milliers.
Interprétation : Au bout d'une heure et trente minutes, la population de bactéries est d'environ 12 332 individus.