Analyse de l'énoncé

Cet exercice de spécialité mathématiques porte sur l'étude d'une fonction produit mêlant un polynôme du second degré et la fonction exponentielle. Ce type de modélisation est classique au baccalauréat pour simuler des phénomènes biologiques, ici la concentration d'un médicament dans le sang au cours du temps.

Points de vigilance et notions requises

• Dérivation d'un produit : La fonction est de la forme \(u(t) \times v(t)\). Il est impératif d'utiliser la formule \((uv)' = u'v + uv'\).
• Dérivée de la fonction exponentielle composée : Savoir que la dérivée de \(e^{-t}\) est \(-e^{-t}\).
• Signe d'une expression : Analyser séparément les facteurs (ici \(t\), \((-t+1)\) et \(e^{-t}\)).
• Lecture de données : Savoir extraire un seuil de réactivité à partir d'un tableau de valeurs approchées.

Guide de résolution détaillé

1. Calcul de l'état initial

On calcule \(f(0) = (0^2 + 0 + 1)e^{-0} = 1 \times 1 = 1\). L'interprétation concrète est que la concentration initiale du médicament lors de l'injection est de \(1\) g/L.

2. Étude des variations

Pour dériver \(f(t) = (t^2+t+1)e^{-t}\) :
On pose \(u(t) = t^2+t+1 \implies u'(t) = 2t+1\)
On pose \(v(t) = e^{-t} \implies v'(t) = -e^{-t}\)
En appliquant \((uv)'\), on obtient :
\(f'(t) = (2t+1)e^{-t} + (t^2+t+1)(-e^{-t}) = e^{-t}(2t+1 - t^2 - t - 1) = e^{-t}(-t^2+t)\).
En factorisant par \(t\), on retrouve bien \(f'(t) = t(-t+1)e^{-t}\).

Sur l'intervalle \([0 ; 13]\), \(t \ge 0\) et \(e^{-t} > 0\). Le signe de \(f'(t)\) dépend donc uniquement de \((-t+1)\).
La dérivée est positive sur \([0 ; 1]\), nulle en \(1\), et négative sur \([1 ; 13]\). La fonction est donc croissante puis décroissante.

3. Exploitation du seuil de concentration

Le médicament reste actif tant que \(f(t) \ge 0,1\). D'après le tableau de valeurs :
À \(t=6\), \(f(6) = 0,107 > 0,1\).
À \(t=7\), \(f(7) = 0,052 < 0,1\).
Le nombre d'heures maximal \(t_0\) pendant lequel le médicament est actif est donc de 6 heures.