Analyse de l'énoncé
Cet exercice porte sur la modélisation de l'évolution démographique d'une population à l'aide des suites numériques. Il s'agit d'un classique du programme de Première Enseignement Spécifique, combinant une suite géométrique (pour les naissances) et une suite arithmétique (pour les décès). L'objectif est de manipuler les formules explicites et de récurrence, tout en interprétant des données issues d'un tableur.
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, il est essentiel de maîtriser :
- Le lien entre évolution en pourcentage et coefficient multiplicateur (une baisse de 2 % correspond à multiplier par 0,98).
- La définition d'une suite arithmétique par l'ajout constant d'une raison.
- Le passage de la forme récurrente à la forme explicite pour les deux types de suites.
- La lecture et l'écriture de formules de tableur (références relatives).
Correction détaillée
1. Calcul des premiers termes :
a. Naissances en 2026 (\(u_1\)) : \(60\,000 \times (1 - 0,02) = 60\,000 \times 0,98 = 58\,800\).
b. Décès en 2026 (\(v_1\)) : \(40\,000 + 900 = 40\,900\).
2. Étude de la suite \((u_n)\) :
a. Chaque année, le nombre de naissances diminue de 2 %, ce qui revient à multiplier le terme précédent par \(0,98\). D'où \(u_{n+1} = 0,98 u_n\).
b. La suite \((u_n)\) est donc une suite géométrique de raison \(q = 0,98\) et de premier terme \(u_0 = 60\,000\).
c. Forme explicite : \(u_n = u_0 \times q^n = 60\,000 \times 0,98^n\).
3. Étude de la suite \((v_n)\) :
a. Le nombre de décès augmente de façon constante (+900 par an). La suite \((v_n)\) est donc une suite arithmétique de raison \(r = 900\).
b. Forme explicite : \(v_n = v_0 + n \times r = 40\,000 + 900n\).
4. Tableur et vérification :
a. Formule en C3 : =C2+900 (on ajoute la raison au terme de la cellule précédente).
b. Pour \(n=10\) (cellule C12), on calcule \(v_{10} = 40\,000 + 10 \times 900 = 40\,000 + 9\,000 = 49\,000\). Le résultat est cohérent avec l'affichage.
5. Solde naturel négatif :
Le solde naturel devient négatif quand \(u_n - v_n < 0\), soit \(u_n < v_n\). D'après le tableau, à \(n=10\), \(u_{10} = 49\,024\) et \(v_{10} = 49\,000\) (solde positif). À \(n=11\), \(u_{11} = 48\,044\) et \(v_{11} = 49\,900\). Le solde devient négatif pour \(n=11\), soit en l'année \(2025 + 11 = 2036\).