Compétences et clés de réussite

Cet exercice complet, tiré du Baccalauréat de mathématiques 2026 (Centres Étrangers, Sujet 2), propose une exploration approfondie de plusieurs thèmes majeurs du programme de Terminale : l'analyse graphique de fonctions et de leurs dérivées, la résolution d'équations différentielles, l'étude analytique d'une fonction exponentielle, et le calcul intégral. Pour aborder sereinement cette épreuve, le candidat doit mobiliser plusieurs compétences méthodologiques spécifiques.

1. Lecture graphique, dérivation et convexité
La première partie de l'exercice évalue vos capacités de lecture graphique et de déduction logique. L'enjeu est d'associer trois courbes à une fonction, sa dérivée première et sa dérivée seconde. La compétence clé ici est la maîtrise du lien entre les variations d'une fonction et le signe de sa dérivée. De plus, il est indispensable de faire appel à la notion de convexité : le signe de la dérivée seconde renseigne non seulement sur les variations de la dérivée première, mais permet aussi d'identifier les potentiels points d'inflexion. Bien qu'aucune justification ne soit demandée, une démarche mentale rigoureuse éliminant les cas impossibles est attendue.

2. Équations différentielles du premier ordre
La partie B porte sur la résolution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre. Le candidat doit savoir démontrer qu'une fonction donnée est une solution particulière, ce qui implique de savoir dériver correctement un produit impliquant une fonction exponentielle, puis de vérifier l'égalité. L'étape suivante consiste à résoudre l'équation homogène associée, dont la forme générale des solutions est exigible (\( y(x) = C \mathrm{e}^{-ax} \)). La somme de la solution homogène et de la solution particulière donne la solution générale. Enfin, l'exploitation d'une condition initiale permettra de déterminer l'unique fonction cherchée.

3. Étude analytique et limites
La partie C exige de l'aisance en analyse. L'étude du signe de la fonction étudiée se ramène à l'étude d'un trinôme du second degré, l'exponentielle étant strictement positive. Concernant le calcul de limites aux bornes de l'ensemble de définition, l'élève doit maîtriser les techniques de levée des formes indéterminées en l'infini. Il est primordial de savoir utiliser les théorèmes de croissances comparées pour conclure de façon justifiée.

4. Intégration par parties et calcul d'aire
L'intégration par parties, outil puissant du calcul intégral, est au cœur de la suite de l'exercice. Il s'agira de l'appliquer deux fois successivement pour calculer l'intégrale d'un produit d'un polynôme de degré deux par une fonction exponentielle. La plus grande vigilance est requise dans la manipulation des signes et dans l'identification des termes \( u \) et \( v' \). Ce résultat numérique doit ensuite pouvoir être interprété géométriquement sous la forme d'une aire.

5. Équation de tangente et problèmes d'intersection
La dernière partie mobilise l'équation de la tangente en un point d'abscisse paramétrée \( a \). Après avoir calculé l'ordonnée à l'origine de cette droite, le problème demande de déterminer le nombre de tangentes passant par l'origine. Cela revient à résoudre une équation polynomiale de degré trois, nécessitant la recherche de racines évidentes ou l'étude des variations d'une fonction auxiliaire pour utiliser le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires.