Cet exercice est tiré de l'épreuve du Baccalauréat de mathématiques 2026, plus précisément de la session de la Métropole (Sujet 2). Il s'agit du deuxième exercice du sujet, spécialement conçu pour évaluer la maîtrise de l'analyse mathématique des candidats. Au cœur de cet exercice, on retrouve l'étude complète d'une fonction impliquant une exponentielle, le calcul d'une intégrale, ainsi que des concepts incontournables tels que la dérivation et le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (TVI). Cette section du programme offre une excellente opportunité de consolider ses connaissances et de se préparer efficacement aux exigences des examens de fin d'année.
Compétences et clés de réussite
Pour aborder cet exercice avec succès, le candidat doit mobiliser un éventail complet de compétences clés en analyse. Tout d'abord, l'évaluation des limites aux bornes de l'ensemble de définition est une étape primordiale. Il est nécessaire de savoir manipuler les limites de la fonction exponentielle, particulièrement en l'infini, pour contourner d'éventuelles formes indéterminées à l'aide des théorèmes de croissances comparées. Interpréter graphiquement ces résultats, souvent par la présence d'une asymptote horizontale, démontre la capacité de l'élève à faire le lien entre des calculs algébriques et les propriétés géométriques de la courbe représentative.
Ensuite, l'exercice requiert une solide maîtrise des techniques de dérivation. La fonction proposée étant un produit impliquant une fonction affine et une exponentielle, l'application rigoureuse de la formule de dérivation d'un produit (uv)' est incontournable. Une fois la dérivée correctement établie, l'étude de son signe, dominée par l'expression polynomiale puisque l'exponentielle est toujours strictement positive, permet de construire le tableau de variations complet de la fonction. Cette étape charnière exige beaucoup de méthode et de rigueur, car elle conditionne toute la suite du problème.
Le recours au théorème des valeurs intermédiaires (TVI), et plus particulièrement à son corollaire pour les fonctions strictement monotones, constitue une autre compétence essentielle mise à l'épreuve. Le candidat doit savoir rédiger clairement et formuler les hypothèses nécessaires (continuité de la fonction, stricte monotonie sur un intervalle donné) pour démontrer l'existence et l'unicité d'une solution à l'équation f(x) = 0. Parallèlement, l'utilisation efficace de la calculatrice pour obtenir un encadrement ou une valeur approchée de cette solution est une aptitude technique technique indispensable le jour de l'épreuve.
Le problème s'oriente par la suite vers le domaine du calcul intégral. Plutôt que de demander la recherche difficile d'une primitive de manière autonome, l'énoncé fournit astucieusement la fonction primitive à admettre et invite à l'utiliser. La clé réside dans la capacité de l'élève à lier la notion d'intégrale au calcul géométrique d'une aire du domaine délimité par la courbe, l'axe des abscisses et des droites verticales, en prenant le soin de formuler la réponse en unités d'aire.
Enfin, la question de clôture demande de démontrer et vérifier une inégalité impliquant la fonction initiale et la tangente à sa courbe en un point d'abscisse précis. Cela peut faire appel aux notions de convexité pour justifier la position de la courbe par rapport à ses tangentes, ou plus simplement à l'étude classique du signe de la différence entre les deux expressions. Réussir un tel exercice démontre une compréhension globale et une analyse fonctionnelle irréprochable au niveau du lycée.