Compétences et clés de réussite
L'exercice 1 du Sujet 2 du Baccalauréat de mathématiques de Métropole 2026 propose une exploration particulièrement riche et transversale des probabilités et des suites numériques. Ce type d'exercice évalue la capacité des candidats à modéliser une situation issue de la vie courante à l'aide d'outils mathématiques pertinents et à mobiliser des compétences algorithmiques avancées. Pour réussir pleinement cette épreuve, il est indispensable de maîtriser en profondeur plusieurs concepts clés figurant au programme de la spécialité mathématiques de la classe de terminale.
Maîtrise de la loi binomiale et modélisation probabiliste
La première partie de l'exercice s'articule de façon classique autour de la modélisation d'une succession d'épreuves aléatoires complètement indépendantes. Il est impératif pour tout candidat de savoir justifier rigoureusement l'utilisation d'une loi binomiale en identifiant clairement et de manière explicite les critères fondamentaux : la répétition d'expériences parfaitement identiques et indépendantes les unes des autres, n'ayant chacune que deux issues possibles (la réussite ou l'échec du lancer). Les lycéens doivent être capables d'identifier rapidement les paramètres de cette loi (le nombre d'essais n et la probabilité de succès p) et d'utiliser efficacement les fonctionnalités de leur calculatrice scientifique ou graphique pour déterminer la probabilité précise d'obtenir un certain nombre défini de succès lors d'une série.
De plus, le sujet requiert de savoir calculer la probabilité de l'événement complémentaire. Cette compétence est particulièrement attendue lorsqu'il s'agit de trouver la probabilité d'obtenir « au moins un » succès au cours d'un nombre donné d'essais. Cette méthode permet par la suite de résoudre une inéquation complexe pour déterminer un seuil minimal de lancers (le paramètre n) qui garantit une probabilité de réussite supérieure à une valeur cible très exigeante. La résolution de ce type d'inéquation nécessitera de bien comprendre les propriétés des inégalités et de maîtriser la croissance des fonctions usuelles.
Programmation Python et compréhension des boucles conditionnelles
Cet exercice du baccalauréat intègre par ailleurs une question d'algorithmique où il est demandé de compléter un script rédigé en langage Python. La compréhension pointue des boucles conditionnelles (en l'occurrence la boucle « while ») s'avère ici cruciale. Il s'agit en réalité de traduire mathématiquement l'inéquation précédemment étudiée en langage de programmation, afin de déterminer de manière totalement automatisée et algorithmique le fameux seuil recherché. Savoir initialiser les différentes variables, comprendre la logique d'incrémentation et gérer la condition d'arrêt du programme font partie des attendus majeurs des correcteurs.
Probabilités conditionnelles et étude de suites récurrentes
La seconde partie du problème introduit la notion de probabilités conditionnelles, dont la valeur évolue logiquement au fil des lancers successifs. L'utilisation et la construction minutieuse d'un arbre pondéré de probabilités sont fortement recommandées pour structurer efficacement le raisonnement. Ce schéma permet de calculer avec justesse la probabilité d'événements à une étape donnée en appliquant rigoureusement la formule des probabilités totales. C'est une méthode visuelle très efficace, éprouvée, pour ne commettre aucune erreur d'étourderie dans la formulation des probabilités conditionnelles.
Ensuite, le problème bascule habilement sur l'étude d'une suite de type arithmético-géométrique qui modélise l'évolution de la probabilité de succès au n-ième lancer franc. Une maîtrise absolument parfaite du raisonnement par récurrence est indispensable pour démontrer formellement la monotonie de la suite (en l'occurrence, sa croissance). Le candidat doit impérativement savoir formuler précisément l'hypothèse de récurrence, initialiser correctement la propriété au premier rang et prouver l'hérédité en s'appuyant intelligemment sur la relation de récurrence fournie par l'énoncé.
Théorème de convergence et interprétation contextuelle
Enfin, le futur bachelier doit mobiliser le théorème fondamental de la convergence monotone. Savoir justifier de manière concise et claire qu'une suite est majorée (ici, s'agissant de probabilités, le majorant naturel et intuitif est 1) et croissante permet de conclure de façon irréfutable sur sa convergence vers une limite finie. L'exercice se clôture par une interprétation concrète de la limite ainsi obtenue. Il ne suffit donc pas de simplement calculer des valeurs abstraites : il faut obligatoirement donner du sens au résultat mathématique dans le contexte initial du problème de basket-ball, ce qui démontre au correcteur une véritable compréhension globale des modèles mathématiques étudiés.
En résumé, cet exercice très complet nécessite une excellente agilité d'esprit et une capacité à faire des liens entre différents chapitres incontournables de la spécialité mathématiques : les probabilités, l'algorithmique et l'analyse approfondie de suites. Une rédaction toujours très soignée et une justification claire et précise de l'ensemble des théorèmes employés feront incontestablement la différence lors de la correction.