Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un classique du programme de Première Spécialité Mathématiques. Il combine l'étude d'une fonction composée avec l'exponentielle et l'interprétation physique d'un extremum. L'objectif est de modéliser l'altitude d'une montgolfière par une fonction \(f(t) = (4t+1)e^{-t}\) (présentée ici sous forme de quotient) et d'utiliser les outils de l'analyse pour déterminer le point culminant du trajet.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences clés sont nécessaires :

• La dérivée d'un quotient : La fonction est de la forme \(\frac{u}{v}\). Il faut impérativement appliquer la formule \((u/v)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}\).
• Propriétés de l'exponentielle : Se souvenir que pour tout réel \(x\), \(e^x > 0\). Cela simplifie grandement l'étude du signe de la dérivée car le dénominateur et le terme exponentiel ne s'annulent jamais.
• Conversion de temps : La question finale demande de convertir une fraction d'heure en minutes pour donner un horaire précis, une étape souvent source d'erreurs d'étourderie.

Guide de résolution détaillé

1. Altitude au décollage

Le décollage correspond à l'instant \(t = 0\). Il suffit de calculer l'image de 0 par la fonction \(f\).
\(f(0) = \frac{4(0)+1}{e^0} = \frac{1}{1} = 1\). L'altitude initiale est donc de 1 km au-dessus du niveau de la mer.

2. Calcul de la dérivée

On pose \(u(t) = 4t+1\), d'où \(u'(t) = 4\).
On pose \(v(t) = e^t\), d'où \(v'(t) = e^t\).
En appliquant la formule du quotient :
\(f'(t) = \frac{4 \times e^t - (4t+1) \times e^t}{(e^t)^2}\).
En factorisant par \(e^t\) au numérateur : \(f'(t) = \frac{e^t(4 - (4t+1))}{e^{2t}}\).
En simplifiant par \(e^t\) : \(f'(t) = \frac{4 - 4t - 1}{e^t} = \frac{3-4t}{e^t}\). Le résultat est bien celui attendu.

3. Étude du signe et maximum

Comme \(e^t > 0\) pour tout \(t \in [0 ; 5]\), \(f'(t)\) est du même signe que le binôme \(3-4t\).
\(3-4t > 0 \iff 3 > 4t \iff t < \frac{3}{4}\).
La fonction est donc croissante sur \([0 ; \frac{3}{4}]\) puis décroissante sur \([\frac{3}{4} ; 5]\). Elle admet donc un maximum en \(t = \frac{3}{4}\).

4. Application concrète

La montgolfière perd de l'altitude dès qu'elle a atteint son maximum. Cela se produit à \(t = 0,75\) heure. Pour convertir en minutes : \(0,75 \times 60 = 45\) minutes. Si elle décolle à 10h50, on ajoute 45 minutes : 10h50 + 10 min (11h00) + 35 min = 11h35.