Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu du sujet Antilles 2026, propose deux questions indépendantes mobilisant des compétences fondamentales du programme de Première Spécialité Mathématiques : la dérivation associée à la fonction exponentielle et la manipulation des suites arithmétiques. La structure sous forme d'affirmations « Vrai/Faux » exige une rigueur démonstrative parfaite, car aucune réponse n'est acceptée sans justification mathématique complète.

Points de vigilance et notions de cours

Pour la première question, il est impératif de maîtriser la dérivée d'un produit. La fonction \(f(x) = x e^x\) est de la forme \((uv)\) avec \(u(x)=x\) et \(v(x)=e^x\). Rappelons que \((uv)' = u'v + uv'\). De plus, il faut connaître les propriétés de signe de la fonction exponentielle : pour tout réel \(x\), \(e^x > 0\).

Pour la seconde question, la maîtrise de la formule générale d'une suite arithmétique est centrale : \(u_n = u_p + (n-p)r\). Cette formule permet de déterminer la raison \(r\) à partir de deux termes quelconques, puis de calculer n'importe quel terme de la suite.

Correction détaillée et Guide de résolution

Question 1 : Étude de la fonction f

Calculons la fonction dérivée \(f'\) sur l'intervalle \([0 ; +\infty[\).
En posant \(u(x) = x \implies u'(x) = 1\) et \(v(x) = e^x \implies v'(x) = e^x\), on obtient :
\(f'(x) = 1 \times e^x + x \times e^x = (1+x)e^x\).

Étudions le signe de \(f'(x)\) sur \([0 ; +\infty[\) :

• Pour tout \(x \geq 0\), \(1+x \geq 1\), donc \((1+x)\) est strictement positif.
• Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(e^x > 0\).

Question 2 : Étude de la suite arithmétique

On sait que \((u_n)\) est arithmétique. On peut écrire \(u_6\) en fonction de \(u_2\) :
\(u_6 = u_2 + (6-2)r \iff 51 = 50 + 4r\).
En résolvant, on trouve \(4r = 1\), d'où \(r = 0,25\).

Calculons maintenant \(u_{26}\) à partir de \(u_6\) :
\(u_{26} = u_6 + (26-6)r = 51 + 20 \times 0,25 = 51 + 5 = 56\).
L'affirmation est Vraie.