Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques pour le niveau Première Spécialité porte sur la modélisation d'une situation réelle par une suite numérique. Ici, nous étudions l'évolution de la valeur d'un téléphone portable. La donnée clé est la diminution constante de 100 € chaque année, ce qui suggère immédiatement une évolution linéaire caractéristique des suites arithmétiques. L'élève doit être capable de passer d'une description textuelle à une formalisation mathématique rigoureuse.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences sont requises :

• Reconnaître une suite arithmétique par sa définition récursive : \(u_{n+1} = u_n + r\).
• Savoir identifier le premier terme \(u_0\) et la raison \(r\) (attention, ici \(r\) est négative car la valeur diminue).
• Maîtriser la formule du terme général : \(u_n = u_0 + n \times r\).
• Résoudre une inéquation simple pour déterminer un seuil.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Calcul des premiers termes :
Le téléphone vaut 1060 € en 2025 (\(n=0\)).
\(u_1 = u_0 - 100 = 1060 - 100 = 960\).
\(u_2 = u_1 - 100 = 960 - 100 = 860\).
Interprétation : En 2027 (soit \(2025 + 2\)), la valeur du téléphone sera de 860 €.

2. Relation de récurrence :
Puisque la valeur diminue de 100 € chaque année, on passe d'un terme au suivant en retranchant 100. Ainsi, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1} = u_n - 100\).

3. Nature de la suite :
La suite \((u_n)\) est une suite arithmétique car on passe d'un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre réel \(r = -100\). La raison est donc \(r = -100\).

4. Expression fonctionnelle :
D'après le cours sur les suites arithmétiques, \(u_n = u_0 + n \times r\).
En remplaçant par les valeurs : \(u_n = 1060 - 100n\).

5. Recherche du seuil :
On cherche l'année où le téléphone perd plus de la moitié de sa valeur. La moitié de \(u_0\) est \(1060 / 2 = 530\). On résout l'inéquation \(u_n < 530\) :
\(1060 - 100n < 530\)
\(-100n < 530 - 1060\)
\(-100n < -530\)
\(n > 530 / 100\) (on change le sens de l'inégalité car on divise par un nombre négatif)
\(n > 5,3\).
Le plus petit entier supérieur à 5,3 est \(n = 6\). L'année correspondante est \(2025 + 6 = 2031\). C'est donc à partir de 2031 que le téléphone aura perdu plus de la moitié de sa valeur initiale.