Analyse de l'énoncé et thématique de l'exercice

Cet exercice, extrait du sujet des Antilles 2026 pour la classe de Première Enseignement Spécifique, traite de la modélisation mathématique appliquée à la biologie (zoologie). La notion centrale est celle des suites numériques, et plus précisément des suites arithmétiques. L'énoncé nous présente une situation de décroissance linéaire : une population diminue d'un nombre fixe d'individus chaque année.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, il est essentiel de maîtriser les concepts suivants :

• Identification de la nature de la suite : Lorsqu'une valeur augmente ou diminue d'une quantité constante (ici -100), il s'agit d'une suite arithmétique.
• Formule du terme général : Savoir passer de la forme de récurrence \(u_{n+1} = u_n + r\) à la forme explicite \(u_n = u_0 + n \times r\).
• Sens de variation : Comprendre que le signe de la raison \(r\) détermine si la suite est croissante ou décroissante.
• Résolution d'inéquations : Savoir isoler \(n\) pour trouver un seuil critique, tout en faisant attention au changement de signe lors de la division par un nombre négatif.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Identification des premiers termes
a) La population initiale au 1er mars 2025 est donnée directement : \(u_0 = 2500\).
b) Pour le 1er mars 2026 (\(n=1\)), on retire 100 individus : \(u_1 = 2500 - 100 = 2400\).

2. Nature et expression de la suite
a) Puisque la population diminue de 100 chaque année, on a la relation de récurrence : \(u_{n+1} = u_n - 100\).
b) La suite \((u_n)\) est donc une suite arithmétique de premier terme \(u_0 = 2500\) et de raison \(r = -100\).
c) L'expression du terme général est donnée par la formule \(u_n = u_0 + nr\), soit ici : \(u_n = 2500 - 100n\).

3. Sens de variation
La raison \(r = -100\) est strictement négative (\(r < 0\)). Par conséquent, la suite \((u_n)\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{N}\). Cela est cohérent avec le contexte de diminution de la population animale.

4. Recherche du seuil
On cherche le plus petit entier \(n\) tel que \(u_n < 1250\).
\(2500 - 100n < 1250\)
\(-100n < 1250 - 2500\)
\(-100n < -1250\)
\(n > \frac{-1250}{-100}\) (on change le sens de l'inégalité car on divise par un nombre négatif)
\(n > 12,5\).
Le plus petit entier supérieur à 12,5 est \(n = 13\). L'année correspondante est \(2025 + 13 = 2038\). C'est donc à partir du 1er mars 2038 que la population passera sous la barre des 1250 individus.