Introduction : Un sujet équilibré et sans calculatrice
Le sujet de mathématiques de la spécialité Première pour la session de septembre 2026 dans la zone Antilles-Guyane offre un panorama complet des compétences attendues en fin d'année. L'absence de calculatrice pour l'intégralité de l'épreuve souligne une volonté de tester l'agilité numérique et la maîtrise des concepts fondamentaux plutôt que la simple application de recettes algorithmiques. Avec une structure classique en deux parties — automatismes sous forme de QCM et exercices de réflexion — ce sujet balaie les thèmes majeurs : second degré, probabilités et analyse.
Analyse de la Première Partie : Automatismes (QCM)
La première partie est composée de huit questions de QCM couvrant les automatismes. Ce format exige une grande rigueur, car aucune justification n'est demandée, mais une erreur de signe peut invalider la réponse.
- Calcul littéral et puissances : Les questions 1, 3 et 5 testent la simplification d'expressions et les règles de calcul sur les puissances (ici \(2^{10}/2 = 2^9\)).
- Équations et géométrie : La résolution de \(x^2=6\) et l'identification graphique d'une équation de droite (ordonnée à l'origine et coefficient directeur) sont des points de passage obligés.
- Pourcentages : La question 8 porte sur les évolutions successives. Le piège classique est d'additionner les baisses (20+30=50). Or, le calcul via les coefficients multiplicateurs (\(0,8 \times 0,7 = 0,56\)) révèle une baisse globale de 44 %.
Exercice 1 : Étude de fonctions et second degré
Cet exercice de 5 points se concentre sur l'interaction entre une parabole \(\mathcal{P}\) et une droite \(\mathcal{D}\).
Notions clés : Coordonnées du sommet d'une parabole (\(x_S = -b/2a\)), racines d'un trinôme et étude de signe.
Pièges à éviter : Lors de l'étude de la position relative, il est crucial de bien soustraire les expressions (\(f(x) - h(x)\)) et d'étudier le signe du résultat. La question 5 demande un schéma : celui-ci doit impérativement faire apparaître les points d'intersection trouvés par le calcul (\((-3; 0)\) et \((2; 5)\)) pour être valorisé.
Exercice 2 : Probabilités conditionnelles
La difficulté ici réside dans l'utilisation de la formule des probabilités totales pour retrouver un paramètre inconnu \(x\).
Conseils méthodologiques : Commencez toujours par dessiner l'arbre pondéré. La somme des probabilités partant d'un même nœud doit être égale à 1. La donnée "66 % de l'ensemble des véhicules sont en bon état" se traduit par l'équation \(P(B) = 0,66\). En utilisant le cheminement dans l'arbre, on obtient \(P(F \cap B) + P(\overline{F} \cap B) = 0,66\), ce qui mène directement à l'équation \(0,3 + 0,4x = 0,66\).
L'interprétation finale (\(x = 0,9\)) signifie que 90 % des camions sont en bon état, une proportion bien plus élevée que chez les fourgons (50 %).
Exercice 3 : Analyse et Suites (Vrai/Faux)
Cet exercice teste la capacité de justification rigoureuse.
- Affirmation 1 (Dérivation) : Pour étudier la croissance de \(f(x) = xe^x\), il faut calculer sa dérivée \(f'(x) = (1+x)e^x\). Sur \([0; +\infty[\), \(1+x\) et \(e^x\) sont strictement positifs, donc \(f\) est bien croissante. L'affirmation est VRAIE.
- Affirmation 2 (Suites) : Pour une suite arithmétique, on utilise \(u_n = u_p + (n-p)r\). Ici, \(u_6 = u_2 + 4r\), soit \(51 = 50 + 4r\), d'où \(r = 0,25\). En calculant \(u_{26} = u_6 + 20 \times 0,25 = 51 + 5 = 56\). L'affirmation est VRAIE.
Conclusion
Ce sujet de la session 2026 Antilles-Guyane est un excellent test de préparation pour les élèves de Première. Il ne présente pas de complexité technique insurmontable mais demande une parfaite maîtrise des fondamentaux du programme. La clé de la réussite réside dans la gestion du temps lors de la partie automatismes et la clarté de la rédaction dans les exercices de probabilités et de suites.