Introduction : Un sujet complet pour la Spécialité Mathématiques

Le sujet de l'épreuve de spécialité mathématiques de Première (session de septembre 2026, métropole) offre un panorama complet des attentes du programme. Avec une structure divisée entre automatismes et exercices de réflexion, il permet de tester tant la rapidité de calcul que la rigueur du raisonnement. La calculatrice étant interdite, l'accent est mis sur la maîtrise des fondamentaux algébriques et la manipulation de fonctions usuelles comme l'exponentielle.

Partie 1 : Automatismes et QCM — La clé des points rapides

La première partie est composée de 8 questions sous forme de QCM. Les thématiques abordées sont variées :

• Calcul commercial : La question 1 traite des évolutions en pourcentage. Une baisse de 3 % revient à multiplier par un coefficient multiplicateur de 0,97.
• Algèbre et Polynômes : La question 2 teste les identités remarquables, tandis que la question 3 demande d'identifier la courbe d'un polynôme du second degré factorisé. Ici, l'élève doit repérer les racines (1 et -3) et l'orientation de la parabole (coefficient a = -5, donc concave).
• Analyse graphique : La question 5 demande une lecture précise d'inéquation sur un graphique, un exercice classique mais piège car il nécessite de bien lire l'axe des ordonnées.
• Géométrie repérée : La question 8 demande l'équation d'une droite passant par deux points. Le calcul du coefficient directeur (m = (0 - (-5)) / (15 - 0) = 1/3) permet de trouver rapidement la réponse A.

Exercice 1 : Probabilités conditionnelles et arbres pondérés

Cet exercice de probabilités est très classique dans sa structure. Il repose sur la construction d'un arbre pondéré représentant la patientèle d'un médecin. Les notions clés : probabilités totales et probabilités conditionnelles.

Le piège à éviter ici est de confondre P(M sachant E) et P(E inter M). La question 3 demande de démontrer la probabilité totale de l'évènement M (0,26). C'est une application directe de la formule : P(M) = P(E ∩ M) + P(nonE ∩ M). La question finale sur le calcul de la probabilité d'être un enfant sachant que des médicaments ont été prescrits est une application de la définition des probabilités conditionnelles, aboutissant à une fraction irréductible (14/26 = 7/13).

Exercice 2 : Suites, Second Degré et Produit Scalaire

Cet exercice est un format "Vrai/Faux" qui exige des justifications précises :

• Suites : La suite proposée est géométrique de raison 1/4. Comme la raison est comprise entre 0 et 1 et que le premier terme est positif, la suite est strictement décroissante (l'affirmation est donc fausse).
• Second degré : L'équation x(1-x) = 4 se ramène à -x² + x - 4 = 0. Le calcul du discriminant (delta = 1² - 4*(-1)*(-4) = -15) montre qu'il n'y a pas de racines réelles. L'affirmation est donc vraie.
• Produit scalaire : Dans cette configuration géométrique, l'utilisation d'un repère orthonormé (A; vect(AB)/4, vect(AD)/3) est souvent la méthode la plus sûre pour calculer le produit scalaire KD.KL.

Exercice 3 : Analyse de fonction avec Exponentielle

La dernière partie modélise l'altitude d'une montgolfière. C'est l'exercice le plus technique du sujet.

Notions abordées : Dérivation d'un quotient, signe de la dérivée et étude de variations. La fonction f(t) = (4t+1)/exp(t) nécessite d'utiliser la règle de dérivation (u/v)' = (u'v - uv')/v². Un point d'attention : la dérivée de exp(t) est exp(t). La simplification par exp(t) au numérateur et au dénominateur est essentielle pour obtenir l'expression demandée : (3-4t)/exp(t).

L'étude de signe montre que la dérivée s'annule en t = 0,75 (soit 45 minutes). C'est à ce moment précis que la montgolfière atteint son altitude maximale avant de redescendre. En ajoutant ces 45 minutes à l'heure de départ (10h50), on trouve que la descente commence à 11h35.

Conclusion : Conseils méthodologiques

Pour réussir ce type de sujet sans calculatrice, il est impératif de bien connaître ses tables de multiplication, ses formules de dérivation et les propriétés de la fonction exponentielle. La rédaction doit être soignée, particulièrement dans l'exercice 2 où la justification est le seul élément rapportant des points. Ce sujet de 2026 montre une volonté de lier les mathématiques pures à des situations concrètes (médecine, loisirs), une tendance forte des examens actuels.