Analyse de l'énoncé

Cet exercice se présente sous la forme d'un Questionnaire à Choix Multiples (QCM) balayant une large partie du programme de Première Spécialité Mathématiques. Il évalue des compétences fondamentales en géométrie analytique (médiatrice, produit scalaire), en analyse (dérivation, tangente) et en algèbre (second degré, fonction exponentielle). Chaque question est indépendante, ce qui permet de tester la polyvalence des connaissances de l'élève.

Points de vigilance et notions requises

• Géométrie repérée : Il est crucial de connaître la définition d'une médiatrice (passe par le milieu et est perpendiculaire au segment).
• Produit scalaire : La relation $\vec{MP} \cdot \vec{MN} = 0$ caractérise l'orthogonalité et définit géométriquement un cercle.
• Dérivation : La maîtrise de la formule de l'équation de la tangente $y = f'(a)(x-a) + f(a)$ est impérative.
• Second degré : L'axe de symétrie d'une parabole d'équation $y=ax^2+bx+c$ est toujours la droite verticale d'équation $x = -\frac{b}{2a}$.
• Exponentielle : Attention au changement de sens de l'inégalité lors d'une division par un nombre négatif.

Guide de résolution et correction

Question 1 : Le milieu de [AB] est $I(3 ; 4)$. Le vecteur $\vec{AB}(-2 ; 4)$ est un vecteur normal à la médiatrice. L'équation est de la forme $-2x + 4y + c = 0$. En injectant les coordonnées de $I$, on trouve $c = -10$. L'équation $-2x + 4y - 10 = 0$ se simplifie en $x - 2y + 5 = 0$. Réponse b.

Question 2 : Par définition, l'ensemble des points $M$ tels que l'angle $\widehat{PMN}$ soit droit (traduit par le produit scalaire nul) est le cercle de diamètre $[PN]$. Réponse b.

Question 3 : On calcule $g(-1) = (-1)^3 - 4(-1) + 5 = 8$. La dérivée est $g'(x) = 3x^2 - 4$, donc $g'(-1) = 3(-1)^2 - 4 = -1$. L'équation est $y = -1(x - (-1)) + 8$, soit $y = -x + 7$. Réponse c.

Question 4 : Pour $y = x^2 + x + 3$, on a $a=1$ et $b=1$. L'axe de symétrie est $x = -\frac{1}{2(1)} = -0,5$. Réponse d.

Question 5 : $-3e^{x+2} > -3e^{4} \iff e^{x+2} < e^{4}$ (division par $-3 < 0$). Par croissance de la fonction $\ln$, on a $x+2 < 4$, soit $x < 2$. L'ensemble est $]-\infty ; 2[$. Réponse c.