Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur l'étude des suites arithmético-géométriques dans un contexte concret de gestion associative. L'objectif est de modéliser l'évolution du nombre de donateurs d'une association. On passe d'une relation de récurrence à une forme explicite grâce à l'introduction d'une suite auxiliaire géométrique.

Points de vigilance et notions requises

• Modélisation : Savoir traduire un pourcentage d'évolution (diminution de 20%, soit coefficient 0,8) et un ajout constant.
• Algorithmique : Comprendre le fonctionnement d'une boucle While (Tant que) en Python et identifier la condition d'arrêt.
• Technique de la suite auxiliaire : La démonstration du caractère géométrique de \(v_n\) nécessite de factoriser correctement par la raison (ici 0,8).

Correction détaillée et guide de résolution

Partie A : Modélisation et Python

1. a) En 2026 (\(n=1\)), \(u_1 = 0,8 \times 1000 + 300 = 800 + 300 = 1100\).
b) Chaque année, on garde 80% de l'effectif précédent (\(0,8u_n\)) et on ajoute 300 nouveaux membres. D'où \(u_{n+1} = 0,8u_n + 300\).

2. \(u_5 \approx 1336\) représente le nombre de donateurs estimé en l'an 2030 (\(2025 + 5\)).

3. Le script Python calcule les termes de la suite jusqu'à ce que le seuil de 1400 donateurs soit dépassé. La valeur \(i=8\) signifie qu'en 2033 (\(2025+8\)), le nombre de donateurs dépassera pour la première fois les 1400 personnes.

Partie B : Étude théorique

1. Pour prouver que \((v_n)\) est géométrique, on exprime \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_n\) :
\(v_{n+1} = u_{n+1} - 1500 = (0,8u_n + 300) - 1500 = 0,8u_n - 1200\).
En factorisant par 0,8 : \(v_{n+1} = 0,8(u_n - \frac{1200}{0,8})\). L'aide au calcul nous donne \(\frac{1200}{0,8} = 1500\).
Donc \(v_{n+1} = 0,8v_n\). La suite \((v_n)\) est géométrique de raison \(q=0,8\) et de premier terme \(v_0 = u_0 - 1500 = 1000 - 1500 = -500\).

2. a) D'après le cours, \(v_n = v_0 \times q^n = -500 \times 0,8^n\).
b) Comme \(u_n = v_n + 1500\), on en déduit \(u_n = 1500 - 500 \times 0,8^n\).