Le contexte : modélisation du phénomène El Niño

Cet exercice de mathématiques issu du baccalauréat s'ancre dans une problématique concrète d'actualité : la modélisation et la prévision de l'apparition du phénomène climatique El Niño. Le sujet est structuré en deux grandes parties indépendantes qui mobilisent chacune des notions classiques et incontournables du programme de Terminale : les probabilités (notamment conditionnelles et binomiales) et l'étude poussée des suites numériques.

Compétences et clés de réussite

Pour aborder ce sujet avec sérénité, le candidat doit maîtriser un éventail de compétences mathématiques variées :

• Identifier et caractériser une loi binomiale : Justifier rigoureusement l'utilisation de la loi binomiale en vérifiant les conditions d'indépendance et de répétition d'une épreuve de Bernoulli, puis en précisant ses paramètres.
• Calculer des probabilités à l'aide de la calculatrice : Savoir évaluer des probabilités ponctuelles ou cumulées pour une variable aléatoire suivant une loi binomiale.
• Construire et exploiter un arbre pondéré : Remplir un arbre de probabilités traduisant une situation d'évolution d'une année sur l'autre, et utiliser la formule des probabilités totales pour établir une relation de récurrence.
• Mener un raisonnement par récurrence : Démontrer qu'une propriété est vraie pour tout entier naturel, en particulier pour prouver la majoration d'une suite numérique.
• Étudier les variations et la convergence d'une suite : Étudier le signe de la différence entre deux termes consécutifs pour déterminer la monotonie d'une suite, puis appliquer le théorème de convergence monotone.
• Utiliser une suite auxiliaire géométrique : Prouver qu'une suite auxiliaire est géométrique pour en déduire l'expression explicite du terme général, avant de calculer la limite globale et de l'interpréter dans le contexte de l'énoncé.

Analyse détaillée des attentes

La première partie se concentre sur un modèle probabiliste simple où les années sont considérées indépendantes. L'objectif est de vérifier l'assimilation du cours sur les schémas de Bernoulli. La justification du choix de la loi de probabilité doit être précise. Le calcul de l'espérance mathématique vient clôturer cette partie et nécessite une phrase d'interprétation claire en lien avec la moyenne du nombre d'années d'occurrence du phénomène sur la période donnée.

La seconde partie propose un modèle d'évolution plus complexe et plus réaliste qui introduit une dépendance temporelle : le fait que le phénomène ait eu lieu une année influence la probabilité qu'il survienne la suivante. Cette situation classique amène l'élève à construire un arbre pondéré et à utiliser la formule des probabilités totales. L'enjeu est ici d'aboutir à une relation de récurrence traduisant une suite arithmético-géométrique.

La fin de l'exercice se penche sur l'analyse analytique de cette suite. Il est attendu du candidat qu'il conduise une démonstration par récurrence impeccable, en respectant les étapes d'initialisation et d'hérédité. La convergence de la suite est prouvée théoriquement, puis explicitement grâce à l'introduction d'une suite géométrique auxiliaire. L'exercice se termine par le calcul de la limite, dont l'interprétation finale requiert de traduire le résultat mathématique en une conclusion prédictive sur l'évolution climatique modélisée.