Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques

Cet exercice porte sur le programme de Première Enseignement Spécifique et cible les compétences liées aux probabilités conditionnelles. L'objectif est de traduire des données textuelles en données numériques au sein d'un tableau de contingence, puis d'utiliser ces données pour calculer des probabilités simples et conditionnelles.

Points de vigilance et notions de cours

• Lien entre effectifs et pourcentages : Il faut être capable de calculer un effectif à partir d'une proportion donnée (90 % de 400).
• Interprétation des événements : Savoir distinguer l'intersection (\(P(A \cap B)\)) de la probabilité conditionnelle (\(P_B(A)\)).
• Complétion logique : Le tableau doit être cohérent horizontalement et verticalement (les sommes des lignes et des colonnes doivent correspondre aux totaux).

Correction détaillée de l'exercice

1. Compléter le tableau

On sait que le total est de 1000 et que 400 clients ont acheté sur internet (\(I\)). Donc, le nombre de clients ayant acheté en magasin est \(\overline{I} = 1000 - 400 = 600\).

• Sur internet : 90% de 400 sont satisfaits, soit \(0,90 \times 400 = 360\). Le reste est non satisfait : \(400 - 360 = 40\).
• En magasin : 20% ne sont pas satisfaits, soit \(0,20 \times 600 = 120\). Le reste est satisfait : \(600 - 120 = 480\).

Tableau final :

• Satisfaits (\(S\)) : 360 (Internet) + 480 (Magasin) = 840 (Total).
• Non satisfaits (\(\overline{S}\)) : 40 (Internet) + 120 (Magasin) = 160 (Total).

2. Calcul de la probabilité d'acheter en magasin et d'être satisfait

L'événement recherché est \(\overline{I} \cap S\). D'après le tableau, l'effectif est de 480. La probabilité est donc :
\(P(\overline{I} \cap S) = \frac{480}{1000} = 0,48\).

3. Probabilité conditionnelle

On cherche \(P_{\overline{S}}(I)\), c'est-à-dire la probabilité que le client ait acheté sur internet sachant qu'il n'est pas satisfait :
\(P_{\overline{S}}(I) = \frac{\text{Nombre de }(I \cap \overline{S})}{\text{Total de }\overline{S}} = \frac{40}{160} = \frac{1}{4} = 0,25\).

4. Prise de décision

La proportion de clients non satisfaits est de \(\frac{160}{1000} = 0,16\), soit 16%. Comme \(16\% > 10\%\), la stratégie d'amélioration sera effectivement mise en place.