Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu du sujet 2026 des Antilles pour la filière technologique, porte sur l'application des mathématiques à l'économie d'entreprise (gestion de production). Il se divise en deux parties complémentaires : une analyse graphique et une étude analytique par la dérivation.

Partie A : Lecture graphique

Dans la première partie, l'élève doit interpréter visuellement les courbes de coût (\(C_C\)) et de recette (\(C_R\)).

• Expression de R(x) : La courbe de recette est une droite passant par l'origine, ce qui indique une fonction linéaire du type \(R(x) = ax\). En utilisant le point (20, 6000), on trouve \(a = 6000/20 = 300\). Donc \(R(x) = 300x\).
• Bénéfice positif : Le bénéfice est réalisé lorsque la courbe de recette (bleue) est au-dessus de la courbe de coût (rouge). Graphiquement, cela se situe approximativement entre \(x = 12\) et \(x = 38\) tonnes.
• Bénéfice maximal : Il correspond à l'écart vertical maximal entre les deux courbes, situé aux alentours de \(x = 30\).

Partie B : Étude du résultat par la dérivation

Cette partie mobilise les compétences de calcul algébrique et l'étude des fonctions polynômes du troisième degré.

• Calcul de la dérivée : La fonction de bénéfice est \(B(x) = -x^3 + 54x^2 - 540x - 2000\). Sa dérivée est \(B'(x) = -3x^2 + 108x - 540\).
• Factorisation : Pour vérifier que \(B'(x) = (-3x + 18)(x - 30)\), on développe l'expression : \(-3x^2 + 90x + 18x - 540 = -3x^2 + 108x - 540\). Le résultat concorde.
• Signe de la dérivée et variations : \(B'(x)\) s'annule pour \(x=6\) et \(x=30\). Puisque le coefficient de \(x^2\) est négatif, la dérivée est positive entre les racines. La fonction \(B\) est donc décroissante sur \([0;6]\), croissante sur \([6;30]\), puis décroissante sur \([30;40]\).

Conclusion sur l'optimisation

L'étude confirme que le bénéfice maximal est atteint pour une production de 30 tonnes de compote. Ce type d'exercice est classique aux épreuves de Première Techno car il lie la théorie de la dérivation à une situation concrète de gestion.