Analyse de l'épreuve d'automatismes

Cet exercice sous forme de QCM (Questionnaire à Choix Multiples) constitue la partie 'Automatismes' du sujet de Première Enseignement Spécifique. Il balaye un large spectre de compétences fondamentales acquises en classe de Seconde et consolidées en Première. L'enjeu est la rapidité et la précision sans calculatrice.

Points de vigilance et notions clés

• Calcul de puissances : Maîtriser les propriétés \(a^n \times a^m = a^{n+m}\).
• Géométrie analytique : Connaître la formule du coefficient directeur \(m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\) et savoir lire graphiquement l'ordonnée à l'origine.
• Identités remarquables : Le développement de \((a-b)^2\) est un classique incontournable.
• Lecture graphique : Attention à l'échelle des axes, notamment ici où l'axe des ordonnées commence à 12,5.

Correction détaillée de l'exercice

Question 1 : \(3^4 \times 3^2 = 3^{4+2} = 3^6\). Réponse B.

Question 2 : \(m = \frac{6-2}{3-1} = \frac{4}{2} = 2\). Réponse B.

Question 3 : Sur le graphique, la valeur 14,5% correspond à l'ordonnée \(y=2\). On observe deux points à cette hauteur : pour \(x=6\) (année 2018) et \(x=9\) (année 2021). Réponse C.

Question 4 : \((x-5)^2 = x^2 - 2 \times x \times 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25\). Réponse C.

Question 5 : Moyenne \(= \frac{14+11+11+4+10}{5} = \frac{50}{5} = 10\). Réponse C.

Question 6 : La droite coupe l'axe des ordonnées en 3, donc \(b=3\). Elle passe par \((-2 ; 0)\), soit une pente \(m = \frac{3-0}{0-(-2)} = \frac{3}{2}\). La fonction est \(f(x) = \frac{3}{2}x + 3\). Réponse C.

Question 7 : \(-10x+4=0 \iff x = \frac{4}{10} = 0,4\). Le coefficient directeur est \(-10\) (négatif), la fonction est donc positive puis négative. Réponse C.

Question 8 : Variation \(= \frac{V_f - V_i}{V_i} = \frac{20-25}{25} = -\frac{5}{25} = -0,2\). Soit une réduction de 20%. Réponse A.