Analyse de l'épreuve d'automatismes
Cet extrait du sujet des Antilles 2026 évalue les compétences fondamentales attendues en classe de Première Spécialité Mathématiques. L'épreuve est conçue pour tester la rapidité et l'exactitude du calcul mental et algébrique, ainsi que la lecture graphique.
Points de vigilance et notions clés
- Calcul Littéral : Maîtriser la distribution du signe '-' devant une parenthèse et les identités remarquables comme \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
- Géométrie : Savoir lire une pente (coefficient directeur) et une ordonnée à l'origine sur une représentation de droite.
- Puissances : Utiliser la règle \(\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}\).
- Évolutions : Comprendre que deux baisses successives s'analysent via le produit des coefficients multiplicateurs et non par une simple addition.
Correction détaillée de l'exercice
Question 1 : \(E = -(a-b) + a - b = -a + b + a - b = 0\). Réponse A.
Question 2 : L'équation \(x^2 = 6\) possède deux solutions réelles : \(\sqrt{6}\) et \(-\sqrt{6}\). Réponse D.
Question 3 : \((3x-5)^2 = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 5 + 5^2 = 9x^2 - 30x + 25\). Réponse D.
Question 4 : La droite coupe l'axe des ordonnées en \(y=3\) (ordonnée à l'origine). Pour un déplacement de 6 unités vers la droite, on descend de 3 unités, donc le coefficient directeur est \(m = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}\). L'équation est \(y = -\frac{1}{2}x + 3\). Réponse A.
Question 5 : La moitié de \(2^{10}\) est \(\frac{2^{10}}{2} = 2^{10-1} = 2^9\). Réponse C.
Question 6 : \(a = \frac{1}{2}bx^2 \iff 2a = bx^2 \iff x^2 = \frac{2a}{b}\). Comme \(x > 0\), \(x = \sqrt{\frac{2a}{b}}\). Réponse B.
Question 7 : \(f(x) = (2x-6)(-x+1)\). Les racines sont \(x=3\) et \(x=1\). Le coefficient de \(x^2\) est \(2 \times (-1) = -2\) (négatif). La parabole est tournée vers le bas. Le signe est donc négatif à l'extérieur des racines : \(-, 0, +, 0, -\). Réponse C.
Question 8 : Coefficient multiplicateur global : \(0,80 \times 0,70 = 0,56\). Ce qui correspond à une baisse de \(1 - 0,56 = 0,44\) soit \(44\%\). Réponse A.