Bibliothèque de contrôles

Bienvenue sur cette page dédiée aux évaluations sur le chapitre de la dérivation globale et locale. Le programme de mathématiques de Première est commun aux séries technologiques STMG, ST2S, STHR, STL, STI2D, STD2A et S2TMD : ces contrôles conviennent donc parfaitement aux élèves de STD2A. Même si certains de ces devoirs surveillés mentionnent une autre série technologique dans leur titre initial, ils mobilisent exclusivement des notions au programme de votre filière. La dérivation est un pilier fondamental de l'analyse en classe de Première. Pour réussir, il est indispensable de maîtriser le calcul de fonctions dérivées, la lecture graphique du nombre dérivé, la détermination de l'équation d'une tangente, ainsi que l'étude des variations d'une fonction pour trouver des extremums. Pour vous accompagner dans vos révisions, cette page regroupe un total de 4 contrôles corrigés. Chaque DS est accompagné d'une correction détaillée au format PDF, idéale pour un entraînement en autonomie à la maison.

Contrôle Dérivation - sujet 1

Ce premier sujet de contrôle corrigé se concentre sur les bases essentielles de la dérivation, avec une durée d'une heure et demie. Il s'articule autour de plusieurs compétences clés à travers quatre exercices variés :

• Lecture graphique : à partir d'une courbe et de ses tangentes, vous devrez lire des images, déterminer graphiquement le nombre dérivé en calculant le coefficient directeur, et déduire l'équation réduite d'une tangente. L'exercice vous demande aussi de calculer un taux de variation.
• Calculs de dérivées : ce deuxième exercice évalue vos compétences algébriques. Il s'agit de déterminer la fonction dérivée de plusieurs fonctions, notamment des polynômes et un produit de deux fonctions affines, puis de retrouver par le calcul l'équation d'une tangente.
• Problème d'optimisation : vous chercherez à maximiser le volume d'une boîte fabriquée à partir d'une plaque carrée de trente centimètres de côté. L'étude de la fonction volume, qui est un polynôme de degré trois, passe par le calcul de sa dérivée et l'étude de son signe sur l'intervalle allant de zéro à quinze.
• Vrai ou Faux : un dernier exercice teste votre compréhension théorique des concepts, comme le lien entre tangente horizontale et nombre dérivé nul, ou le sens de variation d'une fonction de degré trois.

Devoir commun Polynômes, Suites et Dérivation - sujet 1

Ce devoir commun brasse plusieurs chapitres du programme et constitue un excellent entraînement global. La première partie propose un questionnaire à choix multiples sur les automatismes : calcul de taux d'évolution, évolutions successives, résolution d'équation du premier degré, propriétés des puissances, dérivée simple et calcul du terme d'une suite arithmétique.

La deuxième partie s'articule autour de trois exercices contextuels. Le premier étudie la puissance d'un panneau solaire modélisée par un polynôme du second degré. Vous devrez calculer des images, résoudre une équation pour trouver quand la puissance est nulle, déterminer le sommet de la parabole pour trouver la puissance maximale, et résoudre une inéquation à l'aide d'un tableau de signes. Le deuxième exercice aborde l'évolution de la consommation électrique d'un centre de données à l'aide des suites numériques, en comparant un scénario de hausse modélisé par une suite géométrique et un scénario de baisse modélisé par une suite arithmétique. Le dernier exercice porte sur l'étude complète du profil en long d'une route de montagne représenté par une fonction de degré trois. Après avoir calculé la dénivelée totale, vous devrez dériver la fonction, étudier le signe de cette dérivée pour construire le tableau de variations, et distinguer les extremums locaux des extremums globaux du tronçon. Une question finale vous fait calculer l'équation d'une tangente pour en déduire la pente de la route en pourcentage.

Contrôle Dérivation - sujet 2

Ce troisième devoir surveillé propose une évaluation complète sur l'étude de fonctions. Il débute par un questionnaire à choix multiples évaluant les automatismes : calcul de la dérivée d'un polynôme et d'une fonction constante, interprétation géométrique du nombre dérivé, sens de variation de la fonction carré, et développement d'une identité remarquable.

Le deuxième exercice demande l'étude complète des variations d'une fonction de degré trois. Vous devrez calculer la dérivée, vérifier sa forme factorisée, étudier le signe du trinôme obtenu, dresser le tableau de variations et en déduire les coordonnées des extremums locaux. Le troisième exercice est particulièrement intéressant car il évalue la compréhension conceptuelle : vous disposez de la représentation graphique de la fonction dérivée, et non de la fonction elle-même. À partir de cette courbe, vous devrez lire les zéros de la dérivée, en déduire les tangentes horizontales de la fonction initiale, dresser le tableau de signes de la dérivée, et construire le tableau de variations complet de la fonction pour identifier ses extremums. Enfin, le quatrième exercice est un problème d'optimisation économique cherchant à maximiser le bénéfice d'un atelier, modélisé par une fonction de degré trois. L'étude du signe de la dérivée vous permettra de trouver le nombre de pièces à produire pour atteindre le bénéfice maximal, et d'encadrer le seuil de rentabilité de l'atelier.

Contrôle Dérivation - sujet 3

Ce dernier sujet propose une étude de fonction ancrée dans une situation très concrète : l'analyse du vol d'un drone de surveillance. La première partie vous guide pas à pas dans l'étude de la fonction donnant l'altitude du drone en fonction du temps, modélisée par un polynôme de degré trois. Vous y calculerez l'altitude initiale, déterminerez la fonction dérivée, vérifierez sa forme factorisée, et étudierez son signe pour dresser le tableau de variation complet et en déduire l'altitude maximale atteinte.

La deuxième partie fait le lien entre les mathématiques et la physique en interprétant le nombre dérivé comme la vitesse instantanée verticale du drone. Vous calculerez cette vitesse à différents instants, déterminerez l'équation réduite d'une tangente, et identifierez les moments où la vitesse verticale est nulle, correspondant aux changements de direction du drone. Vous calculerez également un taux de variation pour le comparer à la vitesse instantanée. La troisième et dernière partie vous demande d'exploiter ce modèle : compléter un tableau de valeurs, tracer la courbe représentative de la trajectoire, et utiliser le tableau de variations pour vérifier si le drone respecte une consigne de sécurité imposant une altitude minimale. Vous devrez aussi justifier pourquoi une affirmation simpliste sur la descente du drone est fausse.

S'entraîner régulièrement sur ces exercices corrigés est la meilleure méthode pour préparer efficacement vos futurs devoirs surveillés. En travaillant sur ces différents sujets, vous allez automatiser vos calculs de dérivées, affiner votre compréhension de l'interprétation graphique, et apprendre à rédiger rigoureusement une étude de fonction ou un problème d'optimisation. Avant un DS, nous vous conseillons de refaire les calculs sans regarder la correction détaillée, de bien vérifier le signe de vos dérivées, et de toujours faire le lien entre le signe de la dérivée et les variations de la fonction. Bonnes révisions et bon courage pour vos évaluations en mathématiques !