Introduction aux Fonctions et Programmes de Calcul
Cet exercice du Brevet 2026 de la zone Métropole se concentre sur l'un des piliers du programme de mathématiques de 3ème : le passage du calcul numérique à la modélisation algébrique. L'objectif est de manipuler deux programmes de calcul, d'exploiter un tableur et d'analyser une représentation graphique de fonction. Ces thématiques sont récurrentes à l'examen et demandent une grande rigueur dans la manipulation des expressions littérales et la lecture graphique.
Analyse Étape par Étape du Sujet
Dans la première question, l'élève doit appliquer les programmes A et B à une valeur numérique simple : \(4\). Pour le programme A, le calcul se décompose ainsi : \((4 + 3)^2 - 9 = 7^2 - 9 = 49 - 9 = 40\). Pour le programme B, on effectue : \((4 + 6) \times 4 = 10 \times 4 = 40\). Cette phase initiale sert de vérification et permet de conjecturer que les deux programmes pourraient être équivalents.
Maîtrise du Tableur en Mathématiques
La question 2 introduit l'outil informatique. Pour compléter le tableau de valeurs, la formule à saisir dans la cellule \(B3\) est cruciale. Puisque le programme B prend le nombre de départ situé en ligne 1 (cellule \(B1\)), la formule doit être : =B1*(B1+6). Il est essentiel de ne pas oublier le signe égal au début de la formule, une erreur classique qui coûte des points lors de l'épreuve du Brevet. L'étirement de la formule permet ensuite de calculer automatiquement les images pour \(-3, -1, 1, 3, 7\) et \(9\).
Analyse Graphique et Fonctions
La partie 3 utilise une courbe représentative de la fonction \(f(x) = x(x+6)\). Pour déterminer l'image de \(-3\), on repère l'abscisse \(-3\) sur l'axe horizontal, on remonte jusqu'à la courbe et on lit l'ordonnée correspondante sur l'axe vertical, ici \(-9\). Pour les antécédents de \(-5\), on trace une droite horizontale à l'ordonnée \(-5\) et on cherche les points d'intersection avec la courbe. On lit alors les valeurs de \(x\), qui sont \(-5\) et \(-1\). Cette compétence de lecture graphique est fondamentale pour interpréter des données réelles.
Résolution d'Équations et Preuves Algébriques
La question 4 demande de trouver les nombres pour lesquels le programme B donne \(0\). Cela revient à résoudre l'équation produit-nul : \(x(x+6) = 0\). Un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul. On a donc soit \(x = 0\), soit \(x+6 = 0\), ce qui donne \(x = -6\). Enfin, la démonstration finale consiste à prouver l'identité \((x+3)^2 = x^2 + 6x + 9\). En développant le programme A : \((x+3)^2 - 9 = x^2 + 6x + 9 - 9 = x^2 + 6x\). Comme le programme B s'écrit \(x(x+6) = x^2 + 6x\), on conclut que les deux programmes sont strictement identiques pour tout nombre \(x\).
Les Pièges à Éviter
Attention aux erreurs de signes lors du calcul avec des nombres négatifs. Par exemple, calculer le carré de \((-3+3)\) est simple, mais manipuler des expressions comme \(x(x+6)\) avec \(x = -5\) demande de la vigilance : \(-5(-5+6) = -5(1) = -5\). Ne confondez pas non plus image (valeur de \(y\) lue verticalement) et antécédent (valeur de \(x\) lue horizontalement).
Conseils de Rédaction pour le Brevet
Pour obtenir le maximum de points, détaillez chaque étape de vos calculs numériques. Lors de l'utilisation du tableur, précisez bien les coordonnées des cellules. Pour la démonstration algébrique, utilisez des connecteurs logiques comme "On sait que", "D'une part... d'autre part" et terminez par une conclusion claire montrant l'égalité des deux expressions.