Analyse de l'énoncé
Cet exercice est un classique des épreuves de mathématiques pour le baccalauréat technologique. Il porte sur l'étude d'une fonction polynomiale du second degré définie par l'expression \(f(x) = -0,25x^2 + 30x - 500\). L'objectif est de vérifier la compréhension des différentes formes d'une fonction (développée et factorisée), de trouver ses racines et d'analyser ses variations à l'aide de l'outil de dérivation.
Points de vigilance et notions requises
- Calcul algébrique : Savoir manipuler les priorités opératoires pour le calcul d'images.
- Factorisation : Maîtriser la double distributivité pour vérifier l'égalité de deux expressions.
- Dérivation : Appliquer les formules classiques \((x^n)' = nx^{n-1}\) et \((ax+b)' = a\).
- Lien Dérivée/Variations : Comprendre que le signe de la dérivée détermine si la fonction est croissante ou décroissante.
Correction détaillée
1. Calcul de l'image de 10 :
On remplace \(x\) par \(10\) dans l'expression : \(f(10) = -0,25 \times 10^2 + 30 \times 10 - 500 = -0,25 \times 100 + 300 - 500 = -25 + 300 - 500 = -225\).
2. Vérification de la forme factorisée :
Développons \((-0,25x+5)(x-100)\) :
\(-0,25x \times x + (-0,25x) \times (-100) + 5 \times x + 5 \times (-100) = -0,25x^2 + 25x + 5x - 500 = -0,25x^2 + 30x - 500\). L'égalité est démontrée.
3. Résolution de \(f(x)=0\) :
Grâce à la forme factorisée, l'équation devient \((-0,25x+5)(x-100) = 0\). Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul.
\(-0,25x + 5 = 0 \implies x = \frac{-5}{-0,25} = 20\)
Ou \(x - 100 = 0 \implies x = 100\).
Les solutions sont \(S = \{20 ; 100\}\).
4. Détermination de la dérivée :
\(f(x)\) est de la forme \(ax^2 + bx + c\). La dérivée est \(f'(x) = 2ax + b\).
Ici, \(f'(x) = -0,25 \times 2x + 30 = -0,5x + 30\).
5. Étude du signe et variations :
Cherchons quand \(f'(x) > 0\) : \(-0,5x + 30 > 0 \implies 30 > 0,5x \implies x < \frac{30}{0,5} \implies x < 60\).
La fonction est donc croissante sur \([0 ; 60]\) et décroissante sur \([60 ; 200]\). Le maximum est atteint en \(x=60\) avec \(f(60) = 400\).