Analyse de l'énoncé
Cet exercice de mathématiques pour le niveau Première Technologique porte sur l'application des probabilités dans un contexte concret : le dépistage d'une maladie bovine. L'énoncé s'appuie sur un tableau de contingence (ou tableau à double entrée) croisant l'état de santé de l'animal (Malade/Non malade) avec le résultat d'un test biologique (Positif/Négatif).
Points de vigilance et notions requises
- Lecture de tableau : Il est crucial de ne pas confondre les totaux de colonnes avec le total général lors du calcul des probabilités simples.
- Intersection (∩) : L'événement \(M \cap T\) représente la simultanéité de deux conditions (être malade ET avoir un test positif).
- Probabilité conditionnelle : La notation \(P_M(T)\) se lit « probabilité de \(T\) sachant \(M\) ». Elle se calcule en se restreignant à la ligne des bovins malades.
- Fiabilité du test : La question 4 demande de calculer \(P_T(\bar{M})\), c'est-à-dire la probabilité que le bovin soit sain sachant que son test est positif (un faux positif).
Correction détaillée
1. Probabilité de M :
D'après le tableau, sur un total de 1000 bovins, 200 sont malades. On a donc \(P(M) = \frac{200}{1000} = 0,2\).
2. Évènement \(M \cap T\) :
L'évènement \(M \cap T\) signifie : « Le bovin choisi est malade et son test est positif ». Dans le tableau, cela correspond à 180 individus. Ainsi, \(P(M \cap T) = \frac{180}{1000} = 0,18\).
3. Calcul de \(P_M(T)\) :
\(P_M(T) = \frac{P(M \cap T)}{P(M)} = \frac{0,18}{0,2} = \frac{180}{200} = 0,9\). Cela signifie que 90 % des malades sont bien détectés par le test.
4. Analyse de la fiabilité :
On cherche la probabilité de ne pas être malade sachant que le test est positif, soit \(P_T(\bar{M})\).
\(P_T(\bar{M}) = \frac{45}{225}\). L'aide au calcul indique que \(225 = 5 \times 45\), donc \(P_T(\bar{M}) = \frac{1}{5} = 0,2\).
Comme \(0,2 > 0,15\), le test n'est pas considéré comme fiable selon le critère du laboratoire.
5. Tirage de deux bovins :
L'expérience est assimilée à un tirage avec remise. Chaque choix est indépendant.
a. L'arbre pondéré comporte deux étapes, chaque branche menant à M (0,2) ou \(\bar{M}\) (0,8).
b. L'évènement A correspond au chemin (M ; M). \(P(A) = 0,2 \times 0,2 = 0,04\).