Analyse de l'énoncé : Probabilités et Tableaux de Croisés
Cet exercice, extrait du sujet Antilles 2026 pour la classe de Première Technologique, est un classique incontournable du programme. Il se divise en deux parties complémentaires : l'exploitation d'un tableau à double entrée (statistiques et probabilités) et l'étude de l'indépendance via un arbre de probabilités. L'objectif est de vérifier la capacité de l'élève à extraire des données, à distinguer une probabilité d'intersection d'une probabilité conditionnelle, et à modéliser une répétition d'expériences indépendantes.
Points de vigilance et notions de cours
- Lecture du tableau : Il faut bien identifier l'univers de référence. Est-on sur l'ensemble de la population (100 personnes) ou sur une sous-population (les filles seulement) ?
- Notation : La notation \(P(A \cap B)\) désigne l'événement 'A ET B', tandis que \(P_A(B)\) désigne la probabilité de B sachant que A est réalisé.
- Indépendance : Dans la partie B, le terme 'successivement et avec indépendance' implique que les probabilités se multiplient le long des branches de l'arbre.
Correction détaillée et Guide de résolution
Partie A : Étude de la répartition du Bac STMG
1. Le nombre \(x\) représente le nombre de filles ayant obtenu le bac STMG sans mention ou avec la mention AB en 2020. Pour le calculer, on utilise la ligne des filles : \(13 + x = 52\), d'où \(x = 52 - 13 = 39\).
2. a) L'univers comporte 100 personnes. Le nombre de garçons est de 48. La probabilité est donc \(P(G) = \frac{48}{100} = 0,48\).
2. b) On cherche \(P(F \cap M)\) où M est 'Mention B ou TB'. Le tableau indique 13 filles dans cette catégorie sur un total de 100. Soit \(P = \frac{13}{100} = 0,13\).
3. Ici, l'univers est restreint aux filles (52 personnes). On calcule la probabilité conditionnelle : \(P_F(M) = \frac{13}{52}\). En simplifiant la fraction (13 divise 52 car \(13 \times 4 = 52\)), on obtient bien \(0,25\). L'affirmation est donc vraie.
Partie B : Tirages indépendants en STI2D
On nous donne \(P(F) = 0,1\). On en déduit que la probabilité de choisir un garçon est \(P(G) = 1 - 0,1 = 0,9\). Puisque les deux tirages sont indépendants, on peut modéliser la situation par un arbre à deux niveaux. Pour obtenir deux garçons (G, G), on suit le chemin correspondant : \(P(G, G) = P(G) \times P(G) = 0,9 \times 0,9 = 0,81\). La probabilité de choisir deux garçons est donc de \(81 \%\).