Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques
Cet exercice de niveau Première Enseignement Spécifique porte sur les probabilités conditionnelles et l'exploitation de données statistiques sous deux formes : le tableau à double entrée et l'arbre pondéré. L'objectif est de vérifier la capacité de l'élève à traduire un énoncé textuel en données numériques exploitables, à calculer des probabilités simples et conditionnelles, et à tester l'indépendance de deux évènements.
Points de vigilance et notions clés
- Tableau de contingence : Il est crucial de remplir le tableau avec méthode. On commence par les totaux marginaux (500 au total, 300 rivières, 280 satisfaisants) pour déduire par soustraction les cases manquantes.
- Intersection vs Conditionnelle : Ne pas confondre \(P(S \cap \overline{R})\) (l'échantillon est à la fois satisfaisant ET provient d'un lac) avec \(P_{\overline{R}}(S)\) (sachant qu'il vient d'un lac, il est satisfaisant).
- Indépendance : Deux évènements \(A\) et \(B\) sont indépendants si et seulement si \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\).
Correction détaillée
1. Tableau croisé :
Total Rivières = 300, donc Total Lacs = 500 - 300 = 200.
Échantillons Lacs insatisfaisants = 80, donc Lacs satisfaisants = 200 - 80 = 120.
Total satisfaisants = 280, donc Rivière satisfaisants = 280 - 120 = 160.
Rivière insatisfaisants = 300 - 160 = 140.
2. Probabilités :
a) \(P(R) = \frac{300}{500} = \frac{3}{5}\).
b) \(\overline{S}\) : « L'échantillon est de qualité insatisfaisante ». \(P(\overline{S}) = \frac{220}{500} = \frac{22}{50} = \frac{11}{25}\).
c) \(P(S \cap \overline{R}) = \frac{120}{500} = \frac{6}{25}\). Cela représente la probabilité que l'échantillon provienne d'un lac et soit de qualité satisfaisante.
3. Arbre pondéré :
a) \(x\) est situé sur la branche partant de \(R\) vers \(\overline{S}\), donc \(x = P_R(\overline{S})\).
b) \(x = \frac{140}{300} = \frac{14}{30} = \frac{7}{15}\).
c) Complétion : \(P(R)=3/5\), \(P(\overline{R})=2/5\), \(P_R(S)=8/15\), \(P_{\overline{R}}(S)=120/200=3/5\), \(P_{\overline{R}}(\overline{S})=80/200=2/5\).
Test d'indépendance
Calculons \(P(R) \times P(\overline{S}) = \frac{3}{5} \times \frac{11}{25} = \frac{33}{125} = 0,264\).
Calculons \(P(R \cap \overline{S}) = \frac{140}{500} = 0,28\).
Puisque \(0,28 \neq 0,264\), les évènements ne sont pas indépendants.