Analyse de l'énoncé

Cet exercice de niveau Première Technologique porte sur l'application des outils de l'analyse (dérivation et étude de variations) à un contexte économique : la production de tracteurs. La structure est classique : une Partie A purement algébrique pour étudier le signe d'une expression, suivie d'une Partie B où cette expression intervient comme la dérivée d'une fonction de bénéfice.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, les élèves doivent maîtriser :

• La règle de dérivation des polynômes de degré 3 : \((x^n)' = nx^{n-1}\).
• Le lien fondamental entre le signe de la dérivée et le sens de variation d'une fonction.
• Le développement d'expressions factorisées pour vérifier une égalité (question 3a).
• L'interprétation d'un résultat dans un contexte concret (unités en centaines d'euros).

Correction détaillée

Partie A : On cherche le signe de \(f(x) = (12x-480)(x-10)\). Les racines sont \(x_1 = 480/12 = 40\) et \(x_2 = 10\). Comme le coefficient dominant (\(12x^2\)) est positif, \(f(x)\) est positive à l'extérieur des racines et négative entre elles.

Partie B :
1. \(B(0) = -10000\). Cela représente les coûts fixes (perte de 1 000 000 € si aucun tracteur n'est produit).
2. \(B(18) = 2528\). Si l'usine vend 18 tracteurs, elle réalise un bénéfice de \(2528 \times 100 = 252\ 800\) euros.
3. a) En dérivant \(B(x) = 4x^3 - 300x^2 + 4800x - 10000\), on obtient \(B'(x) = 12x^2 - 600x + 4800\). En développant \(f(x)\), on retrouve exactement cette expression. Donc \(B'(x) = f(x)\).
b) Sur \([0 ; 18]\), \(x-10\) s'annule en 10. Le facteur \((12x-480)\) est toujours négatif sur cet intervalle (car \(x < 40\)). Par produit des signes, \(B'(x) > 0\) sur \([0 ; 10]\) et \(B'(x) < 0\) sur \([10 ; 18]\).
c) La fonction \(B\) atteint son maximum en \(x=10\). Le bénéfice maximal est \(B(10) = 4(1000) - 300(100) + 4800(10) - 10000 = 12000\). Soit un profit de 1 200 000 euros.