Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques

Cet exercice, extrait du sujet de Polynésie 2026 pour la spécialité mathématiques en Première, porte sur le chapitre fondamental des probabilités conditionnelles. L'expérience se déroule en deux étapes : un lancer de pièce (équiprobabilité) suivi d'un tirage dans une urne spécifique (A ou B). Ce type d'exercice est un classique des épreuves de baccalauréat, visant à vérifier la capacité de l'élève à modéliser une situation aléatoire par un arbre pondéré.

Points de vigilance et notions clés

Pour réussir cet exercice, plusieurs notions du programme de Première Spécialité doivent être parfaitement maîtrisées :

• L'équiprobabilité : La pièce étant équilibrée, \(P(A) = P(B) = 0,5\).
• La loi des probabilités totales : Utilisée ici pour calculer \(P(D)\) en sommant les probabilités des différents chemins menant à l'événement D.
• La probabilité conditionnelle inverse (Formule de Bayes) : Calculer la probabilité d'avoir choisi l'urne B sachant que le jeton est doré (\(P_D(B)\)).

Guide de résolution détaillé

1. Construction de l'arbre : L'arbre commence par deux branches principales A et B (0,5 chacune). Depuis A, on a D (0,6) et \(\bar{D}\) (0,4). Depuis B, on a \(\bar{D}\) (0,8) et donc D (0,2), car la somme des probabilités issues d'un même nœud doit être égale à 1.

2. Calcul de l'intersection : \(P(A \cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0,5 \times 0,6 = 0,3\). Cela signifie qu'il y a 30 % de chances que le joueur tire dans l'urne A ET obtienne un jeton doré.

3. Probabilité totale : On applique la formule \(P(D) = P(A \cap D) + P(B \cap D)\). On a \(P(B \cap D) = 0,5 \times 0,2 = 0,1\). Ainsi, \(P(D) = 0,3 + 0,1 = 0,4\). Le résultat de 0,4 est bien vérifié.

4. Probabilité conditionnelle : On cherche \(P_D(B) = \frac{P(B \cap D)}{P(D)}\). En remplaçant par les valeurs trouvées : \(P_D(B) = \frac{0,1}{0,4} = 0,25\). Il y a donc 25 % de chances que le jeton provienne de l'urne B sachant qu'il est doré.