Analyse de l'énoncé
Cet exercice porte sur la modélisation d'une situation physique (la trajectoire d'un projectile) à l'aide d'une fonction du second degré. L'énoncé alterne entre l'aspect algébrique (développement de l'expression), l'aspect interprétatif (hauteur initiale) et l'aspect graphique (résolution d'inéquations et d'équations).
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, les élèves doivent maîtriser les points suivants :
- La double distributivité : Passage de la forme factorisée à la forme développée \(ax^2 + bx + c\).
- L'interprétation de l'ordonnée à l'origine : Savoir que \(f(0)\) correspond souvent à la situation initiale (temps \(t=0\)).
- La lecture graphique : Identifier des antécédents et des intervalles sur l'axe des abscisses à partir d'un seuil sur l'axe des ordonnées.
- La résolution d'équations produit nul : Utiliser la forme factorisée pour trouver les racines de la fonction.
Guide de résolution détaillé
1. Étude algébrique
a. Vérification de la forme développée : Pour passer de \(f(t) = (2-0,5t)(7t+1)\) à la forme \(-3,5t^2 + 13,5t + 2\), on applique la double distributivité :
\(f(t) = 2 \times 7t + 2 \times 1 - 0,5t \times 7t - 0,5t \times 1\)
\(f(t) = 14t + 2 - 3,5t^2 - 0,5t\)
En regroupant les termes en \(t\), on obtient bien : \(f(t) = -3,5t^2 + 13,5t + 2\).
b. Calcul de f(0) : En remplaçant \(t\) par \(0\) dans la forme développée, on trouve \(f(0) = 2\). Dans le contexte de l'énoncé, cela signifie que le projectile est lancé d'une hauteur initiale de 2 mètres.
2. Analyse graphique et trajectoire
a. Hauteur supérieure à 12 m : On trace la droite horizontale \(y = 12\) sur le graphique. Les points de la courbe situés au-dessus ou sur cette droite ont des abscisses comprises entre \(1\) et environ \(2,8\). L'intervalle de temps est donc approximativement \([1~;~2,8]\) secondes.
b. Impact au sol : Le projectile touche le sol lorsque sa hauteur est nulle, soit \(f(t) = 0\). Il est préférable d'utiliser la forme factorisée donnée au départ :
\((2-0,5t)(7t+1) = 0\).
Un produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul. On a donc \(2-0,5t = 0\) (soit \(t=4\)) ou \(7t+1 = 0\) (soit \(t = -1/7\)).
Comme le temps \(t\) doit être positif, le projectile touche le sol à l'instant t = 4 secondes.