Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques, extrait du sujet Antilles 2026 pour le niveau Première de spécialité, porte sur les probabilités conditionnelles. L'énoncé présente une situation concrète : un jeu de fléchettes où l'issue d'une manche dépend de l'ordre de passage des joueurs. L'objectif est de modéliser cette situation à l'aide d'un arbre pondéré, de lire des probabilités conditionnelles et de calculer la probabilité d'une intersection d'événements.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, les élèves doivent maîtriser plusieurs concepts clés du programme de Première :

• La construction d'un arbre pondéré : Comprendre que la somme des probabilités issues d'un même nœud doit toujours être égale à 1.
• La lecture des notations : Distinguer la probabilité d'une intersection \(P(A \cap G)\) de la probabilité conditionnelle \(P_A(G)\).
• Le principe multiplicatif : Savoir que la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités portées par ses branches.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Complétion de l'arbre de probabilités :

• Sur la branche allant vers \(\overline{A}\) : Comme la pièce est équilibrée, \(P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 1/2 = 1/2\).
• Sur la branche allant de \(A\) vers \(\overline{G}\) : \(P_A(\overline{G}) = 1 - P_A(G) = 1 - 2/3 = 1/3\).
• Sur la branche allant de \(\overline{A}\) vers \(\overline{G}\) : \(P_{\overline{A}}(\overline{G}) = 1 - P_{\overline{A}}(G) = 1 - 2/5 = 3/5\).

2. Détermination de \(P_A(G)\) et \(P_{\overline{A}}(G)\) :

Ces valeurs sont directement fournies par le texte de l'énoncé ou se lisent sur l'arbre. On a \(P_A(G) = 2/3\) (probabilité que Pierre gagne sachant qu'il joue en premier) et \(P_{\overline{A}}(G) = 2/5\) (probabilité que Pierre gagne sachant qu'il joue en second).

Calcul et interprétation

3. Calcul de \(P(A \cap G)\) :

D'après la formule des probabilités conditionnelles, \(P(A \cap G) = P(A) \times P_A(G)\). En remplaçant par les valeurs numériques :
\(P(A \cap G) = 1/2 \times 2/3 = 2/6 = 1/3\).

Interprétation : La probabilité que Pierre commence la première manche ET qu'il la gagne est de \(1/3\) (soit environ 33,3%). Cette probabilité prend en compte à la fois le hasard du tirage au sort initial et sa performance au jeu.