Analyse de l'énoncé

Cet exercice de mathématiques pour le niveau Première Spécialité porte sur l'étude d'une fonction polynôme du second degré modélisant une situation concrète : le nombre de consultations lors d'une épidémie de grippe. La fonction est définie par \(f(t) = -25t^2 + 300t + 400\) sur l'intervalle \([0 ; 10]\). L'énoncé est structuré en deux parties : une approche graphique intuitive et une validation rigoureuse par le calcul différentiel.

Points de vigilance et notions requises

• Lecture graphique : Savoir identifier une image (ordonnée) et un antécédent (abscisse) sur un repère.
• Second degré : Reconnaître la forme \(ax^2 + bx + c\) et comprendre la forme de la parabole (ici orientée vers le bas car \(a = -25 < 0\)).
• Dérivation : Appliquer les formules de dérivation de base : \((t^2)' = 2t\) et \((at)' = a\).
• Lien signe/variations : Maîtriser le théorème fondamental qui lie le signe de la dérivée \(f'(t)\) aux sens de variation de la fonction \(f\).

Guide de résolution détaillé

Partie A : Lecture graphique

• Question 1 : On cherche l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse \(t=2\). Graphiquement, on lit environ 900 consultations.
• Question 2 : On trace la droite horizontale \(y = 1200\). La courbe est au-dessus de cette droite pour \(t\) compris approximativement entre 4 et 8 semaines.
• Question 3 : Le sommet de la parabole correspond au maximum. Graphiquement, il est atteint à \(t = 6\) pour une valeur de 1300 consultations.

Partie B : Étude algébrique

1. Calcul de \(f(0)\) : \(f(0) = -25(0)^2 + 300(0) + 400 = 400\). Cela signifie qu'au début de l'épidémie (semaine 0), il y a déjà 400 consultations enregistrées.

2. Dérivation : En dérivant terme à terme, \(f'(t) = -25 \times 2t + 300 \times 1 + 0 = -50t + 300\). On retrouve bien l'expression demandée.

3. Équation \(f'(t) = 0\) : \(-50t + 300 = 0 \iff 50t = 300 \iff t = 6\). La dérivée s'annule pour \(t = 6\).

4. Tableau de variations : La fonction \(f'(t) = -50t + 300\) est une fonction affine décroissante. Elle est positive sur \([0 ; 6[\) et négative sur \(]6 ; 10]\). Par conséquent, \(f\) est croissante sur \([0 ; 6]\) puis décroissante sur \([6 ; 10]\). Le pic de l'épidémie est atteint à la 6ème semaine avec \(f(6) = 1300\) consultations.