Analyse de l'énoncé

Cet exercice sous forme de QCM (Questionnaire à Choix Multiples) constitue la partie 'automatismes' du sujet de Première Enseignement Spécifique. Il balaye un large spectre de compétences fondamentales acquises en classe de Seconde et consolidées en Première : calcul littéral, gestion des fractions, évolutions proportionnelles, résolution d'équations du second degré (sous forme factorisée), lecture graphique de fonctions affines et statistiques de base.

Points de vigilance et notions de cours

• Identités remarquables : La maîtrise de \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) est cruciale pour éviter l'erreur classique consistant à oublier le double produit.
• Évolutions : Savoir passer d'un taux de variation \(t\) à un coefficient multiplicateur \(CM = 1 + t\). Pour des évolutions successives, on multiplie les coefficients (\(CM_{total} = CM_1 \times CM_2\)).
• Fonctions affines : Se souvenir que le coefficient directeur \(m\) d'une droite passant par \(A(x_A; y_A)\) et \(B(x_B; y_B)\) se calcule par \(m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\).
• Conversions temporelles : Ne pas confondre la notation décimale (6,4 h) avec la notation sexagésimale (heures/minutes).

Correction détaillée

Question 1 : On utilise l'identité \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) avec \(a=5x\) et \(b=2\). \((5x-2)^2 = (5x)^2 - 2 \times 5x \times 2 + 2^2 = 25x^2 - 20x + 4\). Réponse D.

Question 2 : Priorité à la multiplication : \(\frac{1}{4} \times \frac{8}{5} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}\). On effectue ensuite la soustraction : \(\frac{2}{5} - \frac{1}{5} = \frac{1}{5}\). Réponse D.

Question 3 : Multiplier par \(\frac{3}{4}\) revient à multiplier par \(0,75\). Or, \(0,75 = 1 - 0,25\). Cela correspond à une baisse de 25%. Réponse A.

Question 4 : Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins des facteurs est nul. \(2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2\) ou \(-3x + 3 = 0 \Rightarrow x = 1\). L'ensemble des solutions est \(S = \{2 ; 1\}\). Réponse B.

Question 5 : Baisse de 50% (\(CM_1 = 0,5\)) puis hausse de 50% (\(CM_2 = 1,5\)). Le coefficient global est \(0,5 \times 1,5 = 0,75\). Or \(0,75 = 1 - 0,25\), soit une baisse de 25%. Réponse C.

Question 6 : Le coefficient directeur est \(m = \frac{3 - (-1)}{1 - 3} = \frac{4}{-2} = -2\). La seule expression avec \(m = -2\) est la B. On vérifie l'ordonnée à l'origine : \(3 = -2(1) + 5\), ce qui est vrai. Réponse B.

Question 7 : Somme des coefficients : \(1 + 2 + 1 = 4\). Moyenne = \(\frac{18 \times 1 + 11 \times 2 + 16 \times 1}{4} = \frac{18 + 22 + 16}{4} = \frac{56}{4} = 14\). Réponse C.

Question 8 : \(6,4\) heures = \(6\) heures + \(0,4\) heure. Comme \(1\) heure = \(60\) minutes, \(0,4 \times 60 = 24\) minutes. Soit 6 heures et 24 minutes. Réponse D.