Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques
Cet exercice est un classique incontournable du programme de Première Spécialité Mathématiques. Il porte sur les probabilités conditionnelles, une notion centrale qui lie la théorie des ensembles à l'analyse de données réelles. L'objectif est ici de modéliser une situation concrète (consultations médicales) à l'aide d'un arbre pondéré et de mobiliser les formules fondamentales : probabilité d'une intersection, loi des probabilités totales et définition de l'indépendance.
Points de vigilance et notions clés
- L'arbre pondéré : La somme des probabilités issues d'un même nœud doit toujours être égale à 1.
- L'intersection : On multiplie les probabilités le long d'un chemin (\(P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)\)).
- La loi des probabilités totales : Utilisée pour calculer \(P(M)\) en sommant les probabilités des chemins menant à \(M\).
- L'indépendance : Deux évènements sont indépendants si et seulement si \(P(E \cap M) = P(E) \times P(M)\).
Correction détaillée de l'exercice
1. Complétion de l'arbre
À partir de l'énoncé, on définit les probabilités initiales : \(P(E) = 0,7\) et donc \(P(\overline{E}) = 1 - 0,7 = 0,3\). Pour les branches secondaires : \(P_E(M) = 0,2\) (donc \(P_E(\overline{M}) = 0,8\)) et \(P_{\overline{E}}(M) = 0,4\) (donc \(P_{\overline{E}}(\overline{M}) = 0,6\)).
2. Calcul de \(P(\overline{E} \cap M)\)
D'après la formule des probabilités composées :
\(P(\overline{E} \cap M) = P(\overline{E}) \times P_{\overline{E}}(M) = 0,3 \times 0,4 = 0,12\).
Interprétation : La probabilité que le patient choisi soit un adulte et qu'on lui prescrive des médicaments est de 0,12 (ou 12 %).
3. Loi des probabilités totales
Les évènements \(E\) et \(\overline{E}\) forment une partition de l'univers. Selon la loi des probabilités totales :
\(P(M) = P(E \cap M) + P(\overline{E} \cap M) = (0,7 \times 0,2) + 0,12 = 0,14 + 0,12 = 0,26\).
La probabilité que le médecin prescrive des médicaments est bien égale à 0,26.
4. Étude de l'indépendance
Calculons \(P(E) \times P(M) = 0,7 \times 0,26 = 0,182\).
Nous avons trouvé \(P(E \cap M) = 0,14\).
Puisque \(P(E \cap M) \neq P(E) \times P(M)\), les évènements \(E\) et \(M\) ne sont pas indépendants.
5. Probabilité inversée
On cherche \(P_M(E)\).
\(P_M(E) = \frac{P(E \cap M)}{P(M)} = \frac{0,14}{0,26} = \frac{14}{26} = \frac{7}{13}\).
La probabilité que le patient soit un enfant sachant qu'il a reçu une prescription est de \(\frac{7}{13}\).