Analyse de l'énoncé

Cet exercice est un classique des probabilités conditionnelles au programme de la spécialité mathématiques en classe de Première. Il évalue la capacité de l'élève à modéliser une situation aléatoire à l'aide d'un arbre pondéré et à appliquer les formules fondamentales comme la formule des probabilités totales. L'énoncé présente une situation concrète de gestion de flotte de véhicules (fourgons vs camions) répartis selon leur état (bon état ou non).

Points de vigilance et notions clés

• L'arbre pondéré : La somme des probabilités issues d'un même nœud doit toujours être égale à 1.
• Intersection (\(P(F \cap B)\)) : On multiplie les probabilités le long d'un chemin.
• Probabilité conditionnelle inverse (\(P_B(F)\)) : Il s'agit de calculer la probabilité d'une cause sachant l'effet, ce qui nécessite d'utiliser la définition \(P_B(F) = \frac{P(F \cap B)}{P(B)}\).
• Loi des probabilités totales : Utilisée ici pour trouver la valeur inconnue \(x\) en exploitant la probabilité globale de l'événement \(B\).

Correction détaillée

1. Complétion de l'arbre

On sait que :
- \(P(F) = 0,6\), donc \(P(\overline{F}) = 1 - 0,6 = 0,4\).
- Parmi les fourgons, 50% sont en bon état, donc \(P_F(B) = 0,5\) et \(P_F(\overline{B}) = 0,5\).
- Pour les camions (\(\overline{F}\)), on a déjà \(x\) et \(1-x\) indiqués.

2. Calcul de \(P(F \cap B)\)

L'événement « le véhicule est un fourgon en bon état » correspond à l'intersection \(F \cap B\).
\(P(F \cap B) = P(F) \times P_F(B) = 0,6 \times 0,5 = 0,3\).
La probabilité est bien de 0,3.

3. Probabilité que ce soit un fourgon sachant qu'il est en bon état

On cherche \(P_B(F)\).
\(P_B(F) = \frac{P(F \cap B)}{P(B)}\).
D'après l'énoncé, \(P(B) = 0,66\).
\(P_B(F) = \frac{0,3}{0,66} = \frac{30}{66} = \frac{5 \times 6}{11 \times 6} = \frac{5}{11}\).

4. Établissement de l'équation pour \(x\)

D'après la formule des probabilités totales, l'événement \(B\) est la réunion des événements disjoints \(F \cap B\) et \(\overline{F} \cap B\).
\(P(B) = P(F \cap B) + P(\overline{F} \cap B)\).
On a \(P(\overline{F} \cap B) = P(\overline{F}) \times P_{\overline{F}}(B) = 0,4 \times x\).
Ainsi, \(0,66 = 0,3 + 0,4x\), ce qui s'écrit bien : \(0,4x + 0,3 = 0,66\).

5. Résolution et interprétation

\(0,4x = 0,66 - 0,3 \Rightarrow 0,4x = 0,36\).
\(x = \frac{0,36}{0,4} = 0,9\).
Interprétation : La probabilité qu'un camion soit en bon état est de 0,9. Autrement dit, 90% des camions de la société sont en bon état.