Analyse de l'énoncé

Cet exercice porte sur l'étude des fonctions du second degré, une notion centrale du programme de mathématiques de Première Spécialité. L'objectif est de mobiliser les outils algébriques et graphiques pour caractériser une parabole, étudier le signe d'un trinôme et déterminer la position relative entre une courbe et une droite.

Points de vigilance et notions de cours

• Sommet de la parabole : Pour une fonction \(f(x) = ax^2+bx+c\), les coordonnées du sommet \(S(\alpha ; \beta)\) sont données par \(\alpha = -\frac{b}{2a}\) et \(\beta = f(\alpha)\).
• Signe du trinôme : Un trinôme du second degré est du signe de \(a\) à l'extérieur des racines et du signe de \(-a\) entre les racines.
• Position relative : Étudier la position relative de deux courbes revient à étudier le signe de la différence de leurs expressions de fonction.

Correction détaillée

1. Sommet de la parabole \(\mathcal{P}\) :
La fonction est \(f(x) = x^2+2x-3\). On identifie \(a=1\), \(b=2\), \(c=-3\).
\(\alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \times 1} = -1\).
\(\beta = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4\).
Le sommet \(S\) a pour coordonnées \((-1 ; -4)\).

2. Étude de \(g(x) = x^2+x-6\) :
a) Justification des racines : \(g(-3) = (-3)^2 + (-3) - 6 = 9 - 3 - 6 = 0\). \(g(2) = 2^2 + 2 - 6 = 4 + 2 - 6 = 0\). Les réels \(-3\) et \(2\) sont donc bien les racines.
b) Signe de \(g\) : Le coefficient \(a=1\) est positif. \(g(x)\) est donc positif sur \(]-\infty ; -3] \cup [2 ; +\infty[\) et négatif sur \([-3 ; 2]\).

3. Différence \(f(x) - h(x)\) :
\(f(x) - h(x) = (x^2+2x-3) - (x+3) = x^2+2x-3-x-3 = x^2+x-6\). On retrouve bien \(g(x)\).

4. Position relative et intersections :
\(\mathcal{P}\) est au-dessus de \(\mathcal{D}\) quand \(g(x) > 0\), soit sur \(]-\infty ; -3[\) et \(]2 ; +\infty[\).
\(\mathcal{P}\) est en dessous de \(\mathcal{D}\) sur \(]-3 ; 2[\).
Les intersections ont lieu pour \(x=-3\) et \(x=2\). Points : \(A(-3 ; 0)\) et \(B(2 ; 5)\).

Schéma et allure

Pour le schéma, placez le sommet \(S(-1 ; -4)\) et les points d'intersection \(A\) et \(B\). Tracez la parabole tournée vers le haut et la droite passant par \(A\) et \(B\).