Analyse de l'énoncé

Cet exercice d'automatismes issu du sujet de Polynésie 2026 balaie un spectre large de compétences fondamentales attendues en classe de Première Spécialité Mathématiques. Il ne s'agit pas de démonstrations complexes, mais de vérifier la maîtrise des calculs rapides, de la lecture graphique et des propriétés algébriques de base. Les thèmes abordés incluent les équations de produit nul (Second degré), les probabilités simples, les puissances, les équations de droites (Géométrie repérée), et les évolutions successives.

Points de vigilance et notions requises

• Équations de produit nul : Se souvenir qu'un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.
• Probabilités : Bien identifier l'univers (6 issues) et l'événement (strictement supérieur à 4 signifie 5 ou 6).
• Règles des puissances : Maîtriser les formules \(a^n/a^m = a^{n-m}\) et \((a^n)^p = a^{n \times p}\).
• Géométrie analytique : Différencier les droites verticales (\(x=k\)), horizontales (\(y=k\)) et affines (\(y=ax+b\)).
• Évolutions : Utiliser les coefficients multiplicateurs (\(CM\)) pour les hausses et baisses successives.

Correction détaillée

Question 1 : \((2x-6)(x+4)=0\). Soit \(2x-6=0 \Rightarrow x=3\), soit \(x+4=0 \Rightarrow x=-4\). Réponse D.

Question 2 : Univers \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\). Issues favorables : \(\{5, 6\}\). Probabilité \(= 2/6 = 1/3\). Réponse B.

Question 3 : Vérifions la C : \(3^1 / 3^5 = 3^{1-5} = 3^{-4}\). C'est exact. Les autres sont fausses par application erronée des règles de calcul. Réponse C.

Question 4 : \(D_4\) passe par \((0;1)\) (ordonnée à l'origine \(b=1\)) et par \((1;2)\). Son coefficient directeur est \(a = (2-1)/(1-0) = 1\). L'équation est \(y=x+1\). Réponse D.

Question 5 : Calculons \(f(-3) = 2(-3)^2 - 3(-3) + 1 = 2(9) + 9 + 1 = 18 + 9 + 1 = 28\). Le point \(H(-3 ; 28)\) appartient à la courbe. Réponse B.

Question 6 : \(E = (3/6 + 2/6) \times 2/5 = 5/6 \times 2/5 = 10/30 = 1/3\). Réponse B.

Question 7 : \(CM_{global} = 1,10 \times 0,80 = 0,88\). \(0,88 - 1 = -0,12\), soit une baisse de 12%. Réponse C.

Question 8 : \(g = Gm/r^2 \Leftrightarrow r^2 = Gm/g \Leftrightarrow r = \sqrt{Gm/g}\). Réponse C.