Analyse de l'épreuve d'automatismes

Cet exercice, extrait du sujet de Métropole 2026, constitue une évaluation fondamentale des réflexes mathématiques attendus en classe de Première Spécialité. Il balaye un spectre large de compétences : calcul algébrique, analyse de fonctions, statistiques et géométrie analytique. L'objectif est de vérifier la rapidité et la précision de l'élève sans l'aide de la calculatrice, un élément crucial pour la réussite du contrôle continu.

Points de vigilance et notions clés

• Évolutions et pourcentages : Une baisse de \(t\%\) correspond à une multiplication par le coefficient \(CM = 1 - \frac{t}{100}\). Ici, \(1 - 0,03 = 0,97\).
• Identités remarquables : La forme \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) doit être appliquée sans hésitation sur les signes, notamment le double produit.
• Paraboles et racines : Pour une fonction \(f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)\), les racines sont \(x_1\) et \(x_2\). Le signe de \(a\) détermine l'orientation de la parabole (vers le haut si \(a > 0\), vers le bas si \(a < 0\)).
• Puissances : Rappel des règles : \((a^n)^m = a^{n \times m}\) et \(\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}\).

Correction détaillée des questions

Question 1 : Une baisse de 3% donne \(P \times (1 - 0,03) = 0,97P\). Réponse C.

Question 2 : \((3x-1)^2 = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 1 + 1^2 = 9x^2 - 6x + 1\). Réponse D.

Question 3 : \(f(x) = -5(x-1)(x+3)\). Les racines sont \(1\) et \(-3\). Comme \(a = -5 < 0\), la courbe est tournée vers le bas. La réponse C est la seule courbe qui passe par \((-3;0)\) et \((1;0)\) avec une concavité vers le bas.

Question 4 : En comparant les fractions \(\frac{7}{9} \approx 0,77\) et \(\frac{5}{7} \approx 0,71\). Par produit en croix : \(7 \times 7 = 49\) et \(9 \times 5 = 45\). Puisque \(49 > 45\), on a bien \(\frac{7}{9} > \frac{5}{7}\). Réponse B.

Question 5 : On trace la droite horizontale \(y=10\). Les solutions sont les intervalles où la courbe est située sous cette droite. On lit graphiquement : \([-4~;~-3,2] \cup [-1~;~8] \cup [9,7~;~10]\). Réponse B.

Question 6 : La moyenne pondérée se calcule par \(\frac{12 + 10 + 14 + 2x}{1+1+1+2} = 14\), soit \(\frac{36 + 2x}{5} = 14\). On résout \(36 + 2x = 70\), donc \(2x = 34\), d'où \(x = 17\). Réponse C.

Question 7 : \(\frac{(a^5)^2}{a^{-10}} = \frac{a^{10}}{a^{-10}} = a^{10 - (-10)} = a^{20}\). Réponse A.

Question 8 : La droite passe par \(A(0 ; -5)\) (ordonnée à l'origine \(p = -5\)) et \(B(15 ; 0)\). Le coefficient directeur est \(m = \frac{0 - (-5)}{15 - 0} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}\). L'équation est \(y = \frac{1}{3}x - 5\). Réponse A.