On considère la suite \(u_{n}\) définie pour tout \(n\in\mathbb{N}\) par : \(u_{0}=\frac{3}{2}\) et \(u_{n+1}=u_{n}^{2}-2u_{n}+2\)

Démontrez que la suite \(u_{n}\) est convergente et déterminez sa limite.

1. Montrez par récurrence que pour tout \(n\in\mathbb{N}\) : \(1\leq u_{n}\leq 2\)

On note \(P_{n}\) : \(1\leq u_{n}\leq 2\)

Initialisation : on a \(u_{0}=\frac{3}{2}\) donc \(1\leq u_{0}\leq 2\)

\(P_{0}\) est vraie.

Hérédité : on suppose que \(P_{n}\) est vraie pour un certain \(n\in\mathbb{N}\), montrons que \(P_{n+1}\) est vraie.

Réécrire \(u_{n+1}\) en faisant apparaître le terme \((u_{n}-1)\) :

On remarque que : \(u_{n+1}=u_{n}^{2}-2u_{n}+2=\)

Or, par hypothèse de récurrence : \(1\leq u_{n}\leq 2\)

\(\Longleftrightarrow\) \(\leq u_{n}-1\leq\)

\(\Longleftrightarrow\) \(\leq (u_{n}-1)^{2}\leq\)

\(\Longleftrightarrow\) \(\leq (u_{n}-1)^{2}+1\leq\)

Ce qui démontre que \(1\leq u_{n+1}\leq 2\)

\(P_{n+1}\) est vraie.

Conclusion : la proposition \(P_{n}\) est vraie au rang \(n=0\) et héréditaire donc d'après le principe de récurrence, \(P_{n}\) est vraie pour tout \(n\in\mathbb{N}\), c'est-à-dire, \(1\leq u_{n}\leq 2\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).

2. Montrez que : \(u_{n+1}-u_{n}=(u_{n}-2)(u_{n}-1)\)

Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_{n+1}-u_{n}=\)

Or : \((u_{n}-2)(u_{n}-1)=\)

                                           \(=\)

Ainsi, \(u_{n+1}-u_{n}=(u_{n}-2)(u_{n}-1)\)

3. En déduire le sens de variation de la suite \(u_{n}\)

D'après la question 1. on a : \(1\leq u_{n}\leq 2\)

Donc : \(\geq 0\)

Et : \(\leq 0\)

En en déduit que \((u_{n}-2)(u_{n}-1)\leq 0\)

Et donc d'après la question 2. : ce qui montre que la suite \(u_{n}\) est décroissante.

4. Conclure sur la convergence de \(u_{n}\) et son éventuelle limite.

La suite \(u_{n}\) est minorée (question 1.) et décroissante (question 3.) donc d'après le théorème de la limite monotone, la suite \(u_{n}\) converge vers un nombre réel \(l\).

On a donc : \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n+1} = l \)

Et \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n}^{2}-2u_{n}+2 = l^{2}-2l+2 \)

Or, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_{n+1}=u_{n}^{2}-2u_{n}+2\)

Écrire l'équation vérifiée par \(l\) sous la forme suivante \(f(l)=0\) : 

On en déduit :

Cette équation a deux solutions :

\( l_{1}= \)

\( l_{2}= \)

Or la solution \(l=\) est à rejeter car \(u_{0}=\frac{3}{2}\) et la suite est décroissante.

Finalement, on trouve : \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = l =\)