On considère la suite \(u_{n}\) définie pour tout \(n\in\mathbb{N}\) par : \(u_{0}=0\) et \(u_{n+1}=\frac{1}{2}u_{n}+1\)
Démontrez que la suite \(u_{n}\) est convergente et déterminez sa limite.
1. Montrez par récurrence que pour tout \(n\in\mathbb{N}\) : \(u_{n}\leq 2\)
On note \(P_{n}\) :
Initialisation : on a \(u_{0}=0\) donc
\(P_{0}\) est vraie.
Hérédité : on suppose que \(P_{n}\) est vraie pour un certain \(n\in\mathbb{N}\), montrons que \(P_{n+1}\) est vraie.
En partant de l'hypothèse de récurrence, rédigez les étapes permettant de démontrer \(P_{n+1}\) :
Par hypothèse de récurrence : \(\Longleftrightarrow\)
\(\Longleftrightarrow\)
Or \(\frac{1}{2}u_{n}+1=u_{n+1}\) d'où \(u_{n+1}\leq 2\)
\(P_{k+1}\) est vraie.
Conclusion : la proposition \(P_{n}\) est vraie au rang \(n=0\) et héréditaire donc d'après le principe de récurrence, \(P_{n}\) est vraie pour tout \(n\in\mathbb{N}\), c'est-à-dire, pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
2. Calculez pour tout \(n\in\mathbb{N}\) : \(u_{n+1}-u_{n}\)
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_{n+1}-u_{n}=\)
3. En déduire le sens de variation de la suite \(u_{n}\)
D'après la question 1. on a :
\(u_{n}\leq 2 \Longleftrightarrow\) \(\leq-\frac{1}{2}u_{n}\)
\(\Longleftrightarrow\) \(\leq -\frac{1}{2}u_{n}+1\)
On en déduit d'après la question 2. que et donc que la suite \(u_{n}\) est croissante.
4. Conclure sur la convergence de \(u_{n}\) et son éventuelle limite.
La suite \(u_{n}\) est majorée (question 1.) et croissante (question 3.) donc d'après le théorème de la limite monotone, la suite \(u_{n}\) converge vers un nombre réel \(l\).
On a donc : \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n+1} = l \)
Et \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \frac{1}{2}u_{n}+1 = \frac{1}{2}l+1\)
Or, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_{n+1}=\frac{1}{2}u_{n}+1\)
Écrire l'équation vérifiée par \(l\) :
\(l\) vérifie l'équation :
Finalement, on trouve : \(\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n} = l = \)