Le coyote est un animal sauvage proche du loup, qui vit en Amérique du Nord.
Dans l’état d’Oklahoma, aux États-Unis, \({75}\%\) des coyotes sont touchés par une maladie appelée ehrlichiose.
Il existe un test aidant à la détection de cette maladie.
Lorsque ce test est appliqué à un coyote, son résultat est soit positif, soit négatif, et on sait que:
Si le coyote est malade, le test est positif dans \({93}\%\) des cas.
Si le coyote n’est pas malade, le test est négatif dans \({91}\%\) des cas.
Partie A :
Des vétérinaires capturent un coyote d’Oklahoma au hasard et lui font subir un test pour l’ehrlichiose.
On considère les événements suivants :
\(M\): « le coyote est malade »
\(T\) : « le test du coyote est positif »
On note \(\bar{M}\) et \(\bar{T}\) respectivement les événements contraires de \(M\) et \(T\)
1. Après avoir fait un arbre pondéré déduisez la probabilité arrondie à un millième près que le coyote soit malade et que son test soit positif
\(P(M\cap T)=\)
2. Complétez la phrase suivante :
D'après la la probabilité \(P(T)\) arrondie à un millième près est \(P(T)=\)
3. On appelle « valeur prédictive positive du test » la probabilité que le coyote soit effectivement malade sachant que son test est positif.
Calculez la valeur prédictive positive du test. On arrondira le résultat au millième près.
\(V=\)
Partie B :
On rappelle que la probabilité qu’un coyote capturé au hasard présente un test positif est de \({0.72}\)
1. Lorsqu’on capture au hasard cinq coyotes, on assimile ce choix à un tirage avec remise. On note \(X\) la variable aléatoire qui à un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard associe le nombre de coyotes dans cet échantillon ayant un test positif.
a. Complétez la phrase suivante :
La variable aléatoire \(X\) suit la loi de paramètre \(n=\) et \(p=\)
b. Calculez la probabilité que dans un échantillon de cinq coyotes capturés au hasard, un seul ait un test positif. On arrondira le résultat au millième près.
\(P_1=\)
2. Un vétérinaire affirme qu’il y a plus d’une chance sur deux qu’au moins quatre coyotes sur cinq aient un test positif
a. Calculez la probabilité qu’au moins quatre coyotes sur cinq aient un test positif. On arrondira le résultat au millième près.
\(P_4=\)
b. L'affirmation du vétérinaire est-elle vraie ?
3. Pour tester des médicaments, les vétérinaires ont besoin de disposer d’un coyote présentant un test positif.
Déterminez le nombre de coyote qu'ils doivent capturer pour que la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux présente un test positif soit supérieure à \({0.9}\)
\(N=\)